导数的应用_原创精品文档.pptVIP

②若0,则是递减函数,即tgα2tgα1,α2α1曲线在切线的下方曲线是凸的α2α1xyoM1M2(α2α1)②定理:设函数y=f(x)在某区间内具有二阶导数,则:①若0,则曲线弧是凹的.②若0,则曲线弧是凸的.定理的直观几何理解:第32页/共50页2．曲线的拐点:曲线上凹凸部份的分界点叫作曲线的拐点.凸凸凹M01M02xyo拐点处切线穿过曲线若曲线经过拐点时将会由凹的变为凸的或由凸的变为凹的.即00或00这样在拐点处=0第33页/共50页M0为拐点=0例如:xoyy=x4+1xoyy=x3=12x2虽然│x=0=0但M0不是拐点(只是极小点)=6x│x=0=0M0是拐点第34页/共50页xoyy=x1/3(x0)不存在的点可能是拐点也可能不是拐点y=x-1xyo(x0)不存在的点不是拐点(x0)不存在的点是拐点拐点M0处需:①=0或不存在②M0点的左右两侧的符号需改变例:考察下列图形在x0=0处是否是拐点?第35页/共50页求曲线y=f(x)的拐点和曲线的凹凸性的步骤:①求②令=0,求得区间所有实根及不存在的点③判定拐点:检查解得的x值及不可导点左右两侧的符号是否改变若改变即为拐点,不变号即不是拐点.④确定凹凸性:A.若0,则曲线弧是凹的.B.若0,则曲线弧是凸的.第36页/共50页例:判断曲线y=(x-1)3的凹凸性,并求拐点.解:=6((x-1)=0,得:x=1.以x=1为分点,将函数的定义域(-∞,+∞)分成两个区间:(-∞,1),(1,+∞),列表如下:xf(x)(-∞,1)1(1,+∞)-+凸凹拐点0o12xy1221第37页/共50页1.定义:当曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时,动点到某一直线L为该曲线的渐近线.五.函数的渐近线:xaby±=其渐近线为:oxyy12222=-bax(双曲线）xyoxy1=(反比例函数）其渐近线为:x=0,y=0.第38页/共50页①若,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b.bxfx=￥?)(lim②若,则曲线y=f(x)有铅垂渐近线x=a.￥=?)(limxfax渐近线的三种情形2.:xyo如①②oxy如③③若,且axxfx=￥?)(limbaxxfx=-￥?])([lim则曲线y=f(x)有斜渐近线:y=ax+b(a≠0)★第39页/共50页等式两边同除以x,则有a=f(x)xlimx→∞③若,且axxfx=￥?)(limbaxxfx=-￥?])([lim则曲线y=f(x)有斜渐近线:y=ax+b(a≠0)推导如下:(如图所示)┌MKPxXYOx0由渐近线定义知道必须有:ρ(M,P)=0,limx→∞为简便只须有:而ρ(M,P)=f(x)-(ax+b),b=[f(x)-ax]limx→∞ρ(M,k)=0,limx→∞故有:[f(x)-ax-b]=0,limx→∞