高中数学：构造函数方法.docVIP

高中数学专题：构造函数

常见构造函数方法：

利用和差函数求导法则构造

；

；

（3）；

2.利用积商函数求导法则构造

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）;

(6);

(7);

(8);

(9);

(10);

(11);

(12);

(13);

(14);

(15);

(16);

一、单选题

1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()

A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)

【答案】A

考点：函数性质综合应用

2．若定义在上的函数满足，其导函数，则下列结论中一定错误的是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】试题分析：令，则，因此，所以选C.学#科网

考点：利用导数研究不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

3．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值

【答案】D

点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

4．设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，若，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】,设，则为奇函数，又在上是减函数，从而在上是减函数，又，等价于，即，解得，故选C.

5．设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）

A.B.

C.D.

【答案】C

6．已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是

A.B.

C.D.

【答案】D

点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数，并利用导数分析的单调性．

7．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）

A.B.C.D.

【答案】D

8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】设h（x）=xf（x），

∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），

∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，

∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，

当x＞0时，h（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，

∴此时函数h（x）单调递增．

∵a=f（）=h（），b=﹣f（﹣1）=f（1）=h（1），

c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），

又1ln2，

∴b＞c＞a．

故答案为：D。

9．设定义在R上的函数,对任意的,都有,且,当时,,则不等式的解集为

A.B.

C.D.

【答案】A

10．设函数是奇函数（）的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】设，当时，，在上为减函数，且，

当时，，；

当时，，

为其函数，

当时，；

当时，.

综上所述：使得成立的的取值范围是

11．设为的导函数，已知则下列结论正确的是（）

A.在上单调递增B.在上单调递减

C.在上有极大值D.在上有极小值

【答案】B

12．已知定义在上的函数,满足①;②(其中是的导函数,是自然对数的底数),则的取值范围为

A.B.C.D.

【答案】A

13．已知为上的可导函数，且，均有，则有

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】构造函数

即在上单调递减，所以，同理得

故选D

点睛：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中构造函数g（x），并讨论其单调性是关键.

二、填空题

14．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.

【答案】

15．设f(x)是在R上的奇函数，在上且，

则的解集为______________.

【答案】（-1,0）(0,1）

16．是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______．

【答案