章复变函数和解析函数市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

数学物理方法;教材及指导书;课程讲授计划;上篇复变函数论;主要内容:

1复变函数和解析函数

2复变函数积分柯西定理和柯西公式

3复变函数级数泰勒级数和洛朗级数等（自学）

4解析函数（自学）

5定积分计算（自学）

6δ函数其余拉普拉斯变换内容（自学）

7傅立叶变换和色散

8线性常微分方程级数解法和一些特殊函数;第一章复变函数和解析函数;目的与要求：掌握复变函数基本概念和复函数可导

必要条件、掌握解析函数概念、函数

解析充要条件、复势概念。;莱昂哈德·保罗·欧拉（LeonhardPaulEuler，174月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。

欧拉在数学多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发觉。他引进许多数学术语和书写格式，比如函数记法f(x)，始终沿用至今。另外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出奉献。

欧拉是18世纪杰出数学家，同时也是有史以来最伟大数学家之一。他也是一位多产作者，其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学奉献：“读欧拉著作吧，在任何意义上，他都是我们大师”;1.0问题提出;(1).复数代数形式;定义;两复数相等当且仅当它们实部和虚部分别相等.;（2）复平面表示与复数三角式;显然由复数复平面表示，有下列各式成立;阐明;幅角主值定义:;设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数;除法;共轭;共轭复数性质:;例1.2某化工厂计划修建两个深度相同方池，甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲池大1立方米。问方池深度应为多少？;(1)初等解析函数;;双曲函数;对数函数;幂函数;例1.4;例1.5;定义：当z=x+iy在复平面上改变时，假如相应于z每一个值，都有一个或几种复数值w与之相应。则称w为z复变函数,记作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y);(3)复数导数;;可导：对任何方向，极限都存在并唯一。;?z沿实轴→0,?y?0;柯西—黎曼条件

或C-R条件;定理若存在且连续，则f(z)可导充要

条件是f(z)满足柯西—黎曼条件。;柯西—黎曼条件;可导函???复共轭函数不一定可导。;1.复变函数可导必要条件：柯西—黎曼条件；;1.2

1.4(1)(5)(6)

1.6;;;区域定义：点集E称为一个区域D，假如它满足：

(1)E是一个开集；

(2)E是连通，就是说E中任何两点z1和z2都能够用完全属于E一条折线连接起来。;单连通域与多连通域;2解析函数概念;2.称函数不解析点为奇点;例1.7判断下列函数在何处可导,在何处解析:;(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,因此;由上述讨论可知，既然f(z)在区域D内解析，则存在且连续，其实部和虚部皆可导。

由此我们能够利用柯西－黎曼条件由解析函数u或υ部分构建出一个解析函数。;10/10/;;1.4多值函数;1.4多值函数;现在（n=3）,z-a围绕z=a点二周不复原故称z=a

为函数w二阶支点.;2黎曼面;;10/10/;10/10/;3超越支点;我们知道在区域D内，解析函数f(z)实部u(x,y)和虚部υ(x,y)满足柯西－黎曼条件，即;;2解析函数实部和虚部梯度正交;由电磁学我们知道：（1）静电场电势满足拉普拉斯方程;如要求静电场等势面族用解析函数实部u(x,y)表示,则解析函数虚部为静电场电力线族.;10/10/;10/10/;10/10/;1.引入解析函数、多值函数和调和函数概念和性质.;思考题;1.8（1）（2）(4)

1.10;;课堂练习：

若用和分别表示模和辐角，若函数可导，则与满足

极坐标形式柯西－黎曼条件

且导数可写成

;【证实】使用极坐标，设和分别为极坐标系单位矢量.当沿方向，改变为

因此沿方向导数;当沿方向，改变为

因此沿方向导数

由于沿方向和沿方向导数应当