常微分方程第三章测试卷及答案.docx

常微分方程第三章测试卷

常微分方程第三章测试卷

班级 姓名 学号 得分

一、 填空题（30分）

1， 则称函数为在R上关于

y满足利普希兹条件。

2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间x?x ?h 内的误差估计

0

式为

3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件y(x)?y的解是唯

0 0

一的，记为y??(x,x,y),则成立关系式 在解的存

0 0

在范围内。

4，若函数f(x,y)以及?f都在区域G内连续，则方程的解y??(x,x,y)

?y 0 0

作为x,x,y的函数在它的存在范围内的 。

0 0

5，若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，

则方程的解y??(x,x,y)作为x,x,y 的函数在它的存在范围内

0 0 0 0

的。

6,微分方程的奇解是指

二、解答题（50分）

1， 求曲线xcosa?ysina?p?0的奇解。这里a是参数，p为固定常数。

1?y22

1?y2

的奇解?y?1?

3， 求初值问题dy?x2?y2及y(?1)?0；R:x?1?1,y?1的解的存在

dx

区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

4， 讨论dy?

dx

y2?1分别过点（0，0），（ln2,?3）的解的存在区间。

2

5， 利用克莱洛方程求y?xp?

1的奇解，p?dy

p dx

三、证明题（20分）

假设函数f(x,y)于(x,y)的邻域内是y的不增函数，试证方程

0 0

dy?f(x,y)满足条件y(xdx 0

)?y

0

的解于x?x

0

一侧最多只有一个。

常微分方程第三章测试卷

常微分方程第三章测试卷

—1，若存在常数L0。使得不等式f(x,y)?f(x,y)?Ly ?y ，对于所有

1 2 1 2

(x,y),(x,y)?R都成立

1 2

2，?

n

(x)??(x)? hn?1。

MLN(n?1)!

MLN

3，y ??(x,x,y)

0 0

4，连续可微的。

5,连续的

6,一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；

二

解：由xcosa?ysina?p?0

xsina?ycosa?0

得到x2

y2

?p2

故所求奇解为x2

y2

?p2

解：易解得其通解为：y?sin(x?c)

?f ?y

1?y

1?y2

令?f?? 则有y??1

?y

3 解：a?1,b?1

M?Maxf(x,y)?4, h?Min(a,

b)?1

M 4

?f ?2y?2?L

?y

MLN故?(x)??(x)? hn?1= 1

MLN

n (n?1)! 24

? (x)?x3

x?x4

x7

?11;

2 3 9 18 63 42

4解：显然

y2?12

在整个平面上是连续

?f

又?y

?y，所以f(x,y)?

y2?1

满足局部利普希兹条件，从而满足解的存

2

在唯一性定理和延拓定理的条件。

1?cex

易知方程的解为y? 及y??1

1?cex

1、过（0，0）的解为y?

1?ex1?ex

1?ex

?x?(??,??) ，y? 有意义，又由解的唯一性知：

1?ex

1?ex

y? 与y??1不相交，

1?ex

故此方程解的存在区间为(??,??)

1?ex

2、过（ln2,?3）的解为：y? 当x?0,y??

1?ex

故方程的解向左只能延拓到x?0。

1?ex

又y? 与y??1不相交

1?ex

故方程的解的存在区间为(0,??) 。

5，解：由 y?xp?

1 1

?与x

?

p p2

?0可得：

y2?4x

三，证明：假设满足条件y(x0)?y0的解于x?x0有两个y1(x)，y2(x)则y1(x0)=y0 y2(x0)=y0

令?(x)=y1(x)-y2(x