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数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：S

n

n(a?a

?1 n

?

2

)?na?n(n?1)d

1 2

? na (q?1)

? 1

2、等比数列求和公式：S

??a(1?qn) a?aq

1n ??

1

1 ?1 n

1?q 1?q

(q?1)

3、S

n

??nk?

k?1

n(n?1) 4、S

12 n

1

??nk2

k?1

? n(n?1)(2n?1)6

5、S

n

??n

k?1

k3?[ n(n?1)]2

12

1

?1

[例1]已知log x?

3

log3

2

，求x?x2?x3?????xn????的前n项和.

解：由log x?

3

?1log 3

2

?log

3

x??log

3

2?x?1

2

由等比数列求和公式得 S

n

?x?x2?x3?????xn

1(1?1)

x(1?xn) 2 2n 1

（利用常用公式）

＝ 1?x ＝

1?1

2

＝1－

2n

S[例2]设S＝1+2+3+?+n，n∈N*,求f(n)? n

S

n (n?32)S

1

的最大值.

n?1

1

解：由等差数列求和公式得S

n

S

? n(n?1)，S

2 n

n

? (n?1)(n?2)2

（利用常用公式）

n∴ f(n)?

n

(n?32)S

n?1

＝n2?34n?64

64＝ 1 ＝ 1 ?1

64

n?34?

n

( ? 8

nn

n

)2?50 50

n8∴当 ?

n

8

8 ，即n＝8时，f(n)

?1

max 50

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a· b}的前n

n n

项和，其中{a }、{b }分别是等差数列和等比数列.

n n

[例3]求和：S

n

?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积

设xS

n

?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.② （设制错位）

①－②得(1?x)S ?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）

n

1?xn?1

再利用等比数列的求和公式得：(1?x)S

n

?1?2x?

1?x

?(2n?1)xn

∴ S ?

n

(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)(1?x)2

[例4]求数列2,

4,6

,???,2n,???前n项的和.

2 22 23 2n

解：由题可知，{

2n 1

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

2n 2n

2 4 6 2n

设S ? ?

n 2 22

? ?????

23 2n

?????????????①

1 2 4 6 2n

S ?

2 n 22

? ?

23 24

?????

2n?1

????????????② （设制错位）

①－②得(1?

1)S

?2?

2?2?

2????? 2? 2n

（错位相减）

2 n 2 22

23 24

2n 2n?1

?2?

1

2n?1

n2n?1

∴ S ?4?

n

n?22n?1

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原

数列相加，就可以得到n个(a

1

?a).

n

[例5]求证：C0

n

?3C1

n

?5C2