- 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
泰勒公式及其应用
PAGE
PAGE8
泰勒公式及其应用
数学与计算机科学学院数学与应用数学数学091班赵菲
【摘要】泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。
1预备知识
1.1带有Peano型余项的泰勒公式
函数在[a,b]上具有n阶导数,则
x∈[a,b]有+
其中
即
1.2带有Lagrange型余项的泰勒公式
若函数在上连续,在开区间(a,b)内存在,则在与之间,使得下式成立
其中为Lagrange型余项。
注:若中取这里(介于与0之间)称之为Maclaurin型余项
1.3常见的Maclaurin公式
(这里为任意实数);
2泰勒公式的证明
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数。公式(1)非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1)在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计。公式(2)的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据。
证明:设 现在只需要证
有关系式(3)可知,并易
知因为存在,所以在
点的某个领域内f存在介导函数,于是且
时,允许接连使用洛必达法则次,得到
若p=1,此时收敛,但是,这里我们无法判定的敛散性,为了有效的选取中p的值,可以用泰勒公式研究的阶,据此选取恰当的p的值,使得,并且保证,再有比较判别法就可以判定的敛散性。
例4.4判定级数的敛散性。
解利用泰勒公式展开有
故有即时是阶的,与同敛散性,所以收敛
注:泰勒公式研究序列无穷小量的阶,然后与恰当的去比较,有的放矢的求出P的值再求出极限值,则可顺利解决问题。
泰勒公式在导数方面的应用。
例4.5设在处n次可导,且证因为在处n次可导,且故由泰勒局部公式的唯一性可知,即且知在点n-1次可导。在的某领域内具有n-2阶导数,故有泰勒局部公式,且将代入上式即得所以
注1.本题用到泰勒局部公式的条件与唯一性等知识。
2.由本题证明可见,虽然证明是由对直接应用,泰勒局部公式并利用在点泰勒局部公式唯一性得到的结论,但效果上看,掐相当于在的泰勒公式两端关于x求导所得结果。
4.6泰勒公式在无穷小中的应用
例4.6确定常数a,b,使得当x=0时
为x的3阶无穷小。
解因为
所以为了在时使为x的3阶无穷小,应选则常数,a,b.使得{即{解得{既有
注按照无穷小界的概念,这里应在极限式的条件下确定a,b(k是指定阶数),本题的解法虽没有出现此极限式,但实际上正是从这一极限式中的要求下进行的,及当且仅当的泰勒局部展式中低于k阶的系数等于0,k阶系数≠0时,有,为此,的佩亚诺余项应为,这也是解决问题的一般方法1。
4.6关于界的估计
例4.6设在上有二阶导数,时试证:当时,。
证
所以
4.8泰勒公式证明不等式
例4.8证明:
证明而
又
故有证毕
可见,用泰勒公式证明不等式是一种很好的方法。
4.9泰勒公式证明中值公式
例4.9设在上三次可导,试证:使得
)(1)
证(待定系数法)设k为使下式成立的实数;
(2)
这时,我们的问题归为证明:,使得
。(3)
令(4)
则根据定理,使得由(4)式,即:(5)这是关于k的方程,注意到在点处的泰勒公式;,(6)其中。比较(5),(6)可得式(3)。证毕。
参考文献高等教育出版社裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》
华东师范大学数学系第三版《数学分析》
廊坊师范学院学报潘劲松《泰勒公式的证明及应用》
西安交通大学出版社李惜文《数学分析例题解析及难点注释》
北京电力高等专科学校学报杜道渊《泰勒公式在高等数学中的若干应用》
(
您可能关注的文档
- 泰山版、品德与社会、三年级、下册、试题、答案.doc
- 泰森多边形(Voronoi图)生成算法.doc
- 泰宁一中2018届高考化学“7+3+1”高考仿真训练-(二).doc
- 泰宁县第一次全国水利普查工作实施方案.doc
- 泰宁旅游营销策划活动方案.doc
- 泰罗经典语录.doc
- 泰龙煤矿采掘三年规划.doc
- 泰勒及三大实验分析.doc
- 泰勒及三大实验.doc
- 泰勒公式与导数的应用.doc
- 2024年中国钽材市场调查研究报告.docx
- 2024年中国不锈钢清洗车市场调查研究报告.docx
- 2024年中国分类垃圾箱市场调查研究报告.docx
- 2024年中国水气电磁阀市场调查研究报告.docx
- 2024年中国绿藻片市场调查研究报告.docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(青海西宁卷)数学(带解析).docx
- 2010-2023历年福建厦门高一下学期质量检测地理卷.docx
- 2010-2023历年初中数学单元提优测试卷公式法(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(山东德州卷)化学(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(四川省泸州卷)化学(带解析).docx
文档评论(0)