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Laplace方程九点差分格式
共10页第PAGE页
中南林业科技大学
本科课程设计说明书
学院:理学院
专业年级:2008级信息与计算科学二班
课程:科学计算课程设计
论文题目:Laplace方程九点差分格式
指导教师:陈宏斌
2011年6月
二维椭圆边值问题的九点差分格式
1问题:Laplace方程
G是xy平面上一有界区域,其边界为分段光滑曲线.在上u满足下列边值条件:
.
在此考虑G为正方形区域,G={(x,y)|axb,ayb}.
背景:拉普拉斯方程(Laplacesequation),又名调和方程、位势方程,是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。
2区域剖分
区域G是一个正方形区域,边界axb,ayb.分别沿x,y轴,在[a,b]上取N+1个节点:.则步长h=(b-a)/N;
3九点差分格式
3.1向量形式
利用Taylor展式,有
(3.1)
(3.2)
将(3.1),(3.2)两式相加,则得
其中
又
而
因此
舍去截断误差项,可得Laplace方程的九点差分格式
从而可得差分算子的截断误差
其中M8是u的8阶偏导数的绝对值于考虑区域G的上确界,且u是Laplace方程的的光滑解.
3.2矩阵形式
其中
,
,
4数值试验
边值条件:
5编程实现
5.1算法
方程中,A是大型稀疏矩阵矩阵,用块Gauss-Seidel迭代法解;
步骤:1输入区间上限、下限,节点;
2分解矩阵A,则迭代矩阵:;
3由分块矩阵乘法得到块Gauss-Seidel迭代法的具体形式:
4输出.
5.2流程图
5.4编写代码
5.5测试
例1
步长h=1/6
数值解:
1.33621.46531.56091.61721.6393
1.54231.69261.80671.86491.8897
1.72161.96592.11322.15902.0944
1.98892.33802.51902.56612.4093
2.57762.85093.04883.14033.1553
精确解:
1.36101.50291.60311.65891.6688
1.60781.77541.89391.95981.9714
1.89942.09742.23732.31522.3290
2.24392.47782.64312.73512.7513
2.65082.92723.12243.23123.2503
例2
步长h=1/8
数值解:
1.23771.33401.41821.48311.52601.54981.5621
1.36351.46371.55981.63221.67621.69731.7197
1.45091.60281.72691.81131.85171.85081.8206
1.54851.77081.93492.03552.07022.03511.9311
1.68941.99932.20642.32542.35882.29172.0957
1.94202.33302.56322.69822.74412.68062.4086
2.55802.79463.00923.15683.23123.23303.2172
精确解:
1.265
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