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中考数学专项讲解数形结合思想
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.
华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想.
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数 、b在数轴上的位置如图所示,化简 = .
【分析】由数轴上 ,b的位置可以得到 0,b0且 . ,
.
【解】
【例2】如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴 根.
【分析】由图形可知,搭1条金鱼需要8根火柴棒,后面每多一条就多6根火柴棒,所以搭n条金鱼共需8+6(n-1=(6n+2根火柴棒.
【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
【例3】(08聊城已知关于x的不等式组范围是 .
的整数解共有2个,则 的取值
【分析】解不等式组得解集为 ,我们可以将x2标注在数轴上,要使得不等式组有2个整数解,由图象可知整数解为0,1,则 应在-1~0之间,且可以等于-1,但不能为0,所以以的取值范围是-l≤0.
【解】1≤n0
【例4】(08南通用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示,则所解的二元一次方程组是(
A. B.
C. D.
【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为即可.
【解】D
,只要将解进行代入检验
【例5】已知二次函数y= x2+bx+c的图象如图所示,若关于x的方程 x2+bx+c
-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为(
A.k3B.k=3C.k3D.无法确定
【分析】如果根据b2-4 c的符号来判别解的情况,本题将无从入手,可将原方
程变形为 x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题,即 ,由图象可知只要y=k3就一定定与抛物线有两个不同的交点,所以答案选C.
【解】C
三、在函数中的应用
【例6】(08安徽如图为二次函数y= x2+bx+c的图象,在下列说法中:
① c0②方程 x2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3③ +b+c0④当x1时,y随x的增大而增大
正确的说法有 .(把正确的答案的序号都填在横线上
【分析】由图象可知,开口向上,与x轴交于-1和3两点,与y轴交于负半轴,则 0,c0;由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确.
【解】①②④
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点在空中的运动路线如图所示,为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件.要跳某个
规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 米,入水处距池边
的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误,
(1求这条抛物线的解析式;
(2在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.
【分析】(1在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点O(0,0,入水点
(2,-10,最高点的纵点标为 .
(2求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误,
就是要看当该运动员在距池边水平距离为该运动员距水面高度与5米的关系.
米, 时,
【解】(1在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y= x2+bx+c,由图可知,O,B两点的坐标依次为(0,0(2,-10,且顶点A的纵
坐标为 ,则轴右侧,
,解得 或
.又 抛物线开口向下,
.
抛物线的对称轴在y
, ,c=0,
(2当运动员在空中距池边距离为 米时,即 时, , 此时运
动员距水面高为
四、在概率统计中的应用
.因此,试跳会出现失误.
【例8】(05江西某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:
(1请写出从条形统计图中获得的一条信息;
(2请根据条形统计图中的数据补全扇形统计
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