2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题07 解答题压轴题（圆的综合）（含解析）.doc

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专题07解答压轴题（圆的综合）

通用的解题思路：

一、切割线定理

当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题。

二、解决三角形外接圆的问题

做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。

三、证切线的方法

1、已知半径证垂直；

2、已知垂直证半径。

1．（2023·安徽·中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

??

(1)如图1，连接SKIPIF10，若SKIPIF10，求证；CA平分∠BCD；

(2)如图2，E为⊙O内一点，满足SKIPIF10，若BD=33，AE=3，求弦BC的长．

【答案】(1)见解析

(2)BC=3

【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．

(2)证明四边形AECD平行四边形，后用勾股定理计算即可．

【详解】（1）∵对角线BD是⊙O的直径，SKIPIF10

∴AB=

∴SKIPIF10，

∴CA平分∠BCD．

（2）∵对角线BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∴DC⊥BC,DA⊥AB

∵SKIPIF10，

∴DC∥AE,DA∥CE，

∴四边形AECD平行四边形，

∴DC=AE=3，

又∵BD=33

∴BC=3

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

2．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．

【答案】(1)3

(2)见解析

【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；

（2）根据切线的性质可得OC⊥CD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．

【详解】（1）解：∵OA=1=OC，CO⊥AB，∠D=30°

∴CD=2?OC=2

∴OD=

∴SKIPIF10

（2）证明：∵DC与⊙O相切

∴OC⊥CD

即∠ACD+∠OCA=90°

∵OC=OA

∴∠OCA=∠OAC

∵∠ACD=∠ACE

∴∠OAC+∠ACE=90°

∴∠AEC=90°

∴CE⊥AB

【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．

3．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．

（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；

（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【答案】（1）35

【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得OM⊥CD，OM平分CD，则有MC=6，利用勾股定理可求得半径的长；

（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据CE=EF，AE⊥FC，可得AF=AC，∠1=∠2，利用圆周角定理可得∠2=∠D，可得∠1=∠D，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠AGB=90°，即有AF⊥BD．

【详解】（1）解：连接OC，

∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线

∴OM⊥CD，OM平分CD，

∴∠OMC=90°

∵CD=12

∴MC=6．

在Rt△OMC中．

OC=

=

=3

∴圆O的半径为3

（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．

∵CE=EF，AE⊥FC

∴AF=AC

又∵CE=EF

∴∠1=∠2

∵

∴∠2=∠D

∴∠1=∠D

在Rt△BED中

∠D+∠B=90°

∴∠1+∠B=90°

∴∠AGB=90°

∴AF⊥BD

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．

1．（2024·安徽六安·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点E，交AC于点F，且DF=DC．

????

(1)求证：CD是⊙O

(2)若OF=10，BC=6，求DE

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】（1）连接OC，只要证明∠OCA+∠DCF=90°，即可证明CD是⊙O

（2）作OG⊥AC于G，证明△AGO∽△OGF，求得OA=310