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水不撩不知深浅
水不撩不知深浅
立体几何解答题罕见压轴难题
空间向量是将空间几何问题坐标化的工具,是常考的重点,立体几何解答题的
基本模式是论证推理与计算相结合,以某个空间几何体为依托,分步设问,逐层加
命题预测
深.解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论.作为求解空间角的有
力工具,通常在解答题中进行考查,属于中等难度.
(1)非常规空间几何体为载体
(2)立体几何探索性问题
高频考法
(3)立体几何折叠问题
(4)利用传统方法找几何关系建系
01非常规空间几何体为载体
找清楚几何关系再用空间向量法解决.
1(2024·高三·江苏淮安·期中)如图,AB是半球O的直径,AB=4,M,N是底面半圆弧AB
上的两个三等分点,P是半球面上一点,且∠PON=60°.
(1)证明:PB⊥平面PAM:
(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上,求直线PM与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】(1)连接OM,MN,BM,因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点,
所以有∠MON=∠NOB=60°,又因为OM=ON=OB=2,
人不拼怎知输赢
人不拼怎知输赢
·1·
水不撩不知深浅
水不撩不知深浅
所以△MON,△NOB都为正三角形,
所以MN=NB=BO=OM,四边形OMNB是菱形,
记ON与BM的交点为Q,Q为ON和BM的中点,
因为∠PON=60°,OP=ON,
所以三角形OPN为正三角形,
1
所以PQ=3=BM,所以PB⊥PM,
2
因为P是半球面上一点,AB是半球O的直径,所以PB⊥PA,
因为PM∩PA=P,PM,PA⊂平面PAM,
所以PB⊥平面PAM.
(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上,
由(1)知Q为ON的中点,△OPN为正三角形,所以PQ⊥ON,
所以PQ⊥底面ABM,
因为四边形OMNB是菱形,所以MB⊥ON,
即MB、ON、PQ两两互相垂直,
以点Q为坐标原点,QM,QN,QP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Q-xyz,如图所
示,
则O0,-1,0,M3,0,0,B-3,0,0,N0,1,0,P0,0,3,
所以PM=3,0,-3,OP=0,1,3,OB=-3,1,0,
设平面PAB的一个法向量为m=x,y,z,
人不拼怎知输赢
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