角的平分线的性质课件人教版八年级数学上册.pptx

第十二章全等三角形12.3.1角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离________．根据左图写出几何语言：∵点P是∠AOB平分线上的一点，______⊥_____，______⊥______，∴________＝________．相等PDOAPEOBPDPE

知识点1 角平分线性质的直接运用【例1】如图，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于点D，PD＝2cm，则点P到OB的距离为()A．5cmB．4cmC．3cmD．2cmD

【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝8，则△BDC的面积是()A．8B．12C．20D．24B

知识点2 利用角平分线的性质证明【例2】如图，BC⊥AE，DE⊥AB，垂足分别为点C，D，BC与DE相交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OE.证明：∵BC⊥AE，DE⊥AB，AO平分∠BAC，∴∠OCE＝∠ODB＝90°，OC＝OD.?∴△OCE≌△ODB(ASA)．∴OB＝OE.

【变式2】(人教教材母题改编)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：BE＝CF.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.?∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF.

知识点3 尺规作出角的平分线【例3】尺规作图：作出∠AOB的平分线OC.解：如图，OC即为所求．

【变式3】(人教教材母题改编)如图，在直线MN上求作一点P，使点P到OA和OB的距离相等.解：如图，点P即为所求．

课堂总结：如图是角平分线的基本模型，看到角平分线通常要找这个模型，有时要自行构造出这个模型，我们把这个模型叫“锥子图”，它要满足两个条件：一平分两垂直．

1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是()A．OE是∠AOB的平分线 B．OC＝ODC．点E到C，D的距离相等 D．能说明∠1＝∠2的依据是SASD

2．(人教教材母题改编)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝()A．3∶2 B．2∶3C．9∶4 D．4∶9A3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为14，AB＝8，DE＝2，则AC的长是_____.6

4．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是点M，N.试说明：PM＝PN.证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.?∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.

5．(人教教材母题)如图，在△ABC中，∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．(提示：构造2个“锥子图”)证明：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H.∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF＝PG，PG＝PH.∴PF＝PG＝PH.∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．

6．(中考热点·二次全等)(人教教材母题)如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.?∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．∴OD＝OE.∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠DOF＝∠EOF.?∴△ODF≌△OEF(SAS)．∴DF＝EF.