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【试题呈现】
中考数学专题复习系列:让圆不再有隐形的翅膀
——“隐形圆”模型的解题策略
1.如图,在△ABC内有一点D,使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°,则∠ACB= 。
2.(2016·淮安).如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.
第1题图 第2题图
第1页共7页
3.(2016·安徽)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=3,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 .
第3题图
变式1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,P为△ABC内一个动点,满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 .
变式2.如图,在△ABC中,AC=BC=AB=2,P为△ABC内一个动点,满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 .
变式1
变式2
第2页共7页
课堂总结:
考情及解题策略分析:
①“隐形圆”问题是近几年各市中考的热点,也是“路径轨迹”和“最值”问题的一种情况。
②“隐形圆”考试题型分类有两大类:1°定点对定长(即圆的定义),2°定边对定角(即圆周角的性质:同弧所对圆周角相等)
【练习巩固】
1.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°,则∠CBD= 度。
2.(2014·成都)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是 .
第1题图 第2题图
如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将点D沿过A点的直线折叠,点D的对称点为D’,则线段CD’的最小值为.
如图,正方形ABCD的边长为6,G为CD边中点,动点E、F分别从B、C同时出发,以相同速度向各自终点A、B移动,连接CE、DF交于点P,连接BP,则BP的最小值为 .
A D
E G
P
B F C
第3题图
第4题图 第5题图
5.(2017·烟台)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交
BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .
第3页共7页
【拓展延伸】
在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB,BC
于E、F,则EF的最小值为 .
如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,-6),C的坐标为(0,7),点P是坐标平面内一个动点,且 PC=5,线段PB与x轴交于点 D,则△ABD面积的最大值是
。
第4页共7页
参考答案详解
【试题呈现】
1.(定点对定长)分析:由DA=DB=DC可得点D即为定点(圆心),DA,DB,DC为定长(半径)。以点D为圆心,DA(或DA、DC)为半径作圆。
1
可得∠ACB=
2
∵DA=DB
∠ADB(同弧所对圆周角是圆心角的一半)
∴∠DAB=∠DBA=20°
在?ABD中,∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=140°
1
∴∠ACB=2∠ADB=70°
2.(定点对定长)分析:由折叠知FC=FP,由CF=2可得,无论如
何翻折,点F是定点(即为圆心),FC=FP是定长(即为半径)(始终抓CF=PF,动点P到定点F的距离始终不变,)。
以点F为圆心,FP(或FC)为半径作圆(无论点E如何运动,点P的运动轨迹在圆弧上运动)→点P到直线AB的最小值即转化为直线AB到圆的最小值问题。
过点F作FH⊥AB。(PH长即为点P到直线AB的最小值) 补充:直线到圆的最值模型由折叠知FC=FP=2,则AF=AC-FC=4,AB=10
由Rt?AFH~Rt?ABC得:
AF FH
?AB?BC
?4?FH,
10 8
?FH?3.2
?PH?FH?FP?3.2?2?1.2
∴点P到直线AB的最小值为1.2
3.(定边对定角)解:∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°
∴∠PAB+∠ABP=90°即∠P=90°
(AB为定边,∠P为定角,始终为90°,)
根据直径所对圆周角为直角,可得点
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