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2.2基本不等式(1)
为庆祝中国共产党成立一百周年,定陶一中党史馆决定制作一个周长为4m的“红心向党”矩形宣传牌,如何设计两边长使得面积最大?
再问:如果面积是1m²,如何设计两边长,使得周长最小?
庆祝中国共产党成立100周年
The100thAnniversaryoftheFoundingof
TheCommunistPartyofChina
y
X
问题1:如果a0,b0,我们用√a,√b分别代替以上不等式中的a,b,可得到什么结论?
对任意的a0,b0,有
(√a)²+(√b)²≥2√a·√b
∴a+b≥2√ab
即(当且仅当a=b时,等号成立)
我们把这个不等式叫基本不等式。
问题2:前面我们用重要不等式的特殊情况推导出了基本不等式,也可以说证明了这个不等式,我们能不能直接利用不等式的性质来推导它呢?
求证:若a0,b0,则,当且仅当a=b
时,等号成立。作差法
证明
问题3:如图,AB是圆的直径,O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD。你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
(1)如何用a,b表示OD?
CD≤OD
基本不等式的几何解释:
圆O的半弦CD不大于圆的半径OD,当且仅当C与圆心O重合时,二者相等
∠DAC=∠BDC
∴△ADC∽△DBC
(3)OD与CD的大小关系怎样?
(2)如何用a,b表示CD?
在Rt△ADC和Rt△DBC中
∠ACD=∠DCB=90°,
即DC²=AC·BC
:CD=√ab
=ab
思考2:这个式子的结构有什么特点?能不能用基本不等式求最小值?
中,是和的形式,的积。
因此,可以用a+b≥2√ab求最小值。
例1.已知x0,
值。
例1.已知x0,求的最小值。
解:∵x0
当且仅当,即x²=1
∴所求的最小值为2
,x=1时,等号成立
例2.已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2√P;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
解(1)∵∴xy=2√P题,思你考能:说通说过用本基
当且仅当x=y时,等号成立。_本不等式能解决什
2
y
,
x
x
当且仅当x=y时,等号成立。
∴当x=y时,xy有最大值
最值定理
两个正数的积为定值时,和有最小值;和为定值时,积有最大值。即
∴当x=y时,x+y有最小值2√P.么样的问题吗?
(2).
3.直角三角形的面积为50cm²,当两直角边各为多少时,
这两条直角边的和最小?最小值是多少?
1.x取什么值时,取得最小值,最小值是多少?
2.已知-1≤x≤1,求1-x²的最大值。
我们今天学到了什么?
1.基本不等式是如何得到的?内容是什么?
2.本节课在证明不等式时我们用到过哪些方法?
作差法,数形结合
3.基本不等式求最值的条件是什么?
一正二定三相等
作业
1.x取什么值时,取得最小值,最小值是多少?
解:由题得x≠0
当=±1时,等号成立。
∴所求的最小值为2,此时x=±1。
2.已知-1≤x≤1,求1-x²的最大值。
解:1-x²=(1+x)(1-x)
当x=±1时,1-x²=0
当-1x1时,1+x和1-x都为正数
当且仅当1+x=1-x,即x=0时取等号。
综上,所求的最大值为1。
3.直角三角形的面积为50cm²,当两直角边各为多少时,
这两条直角边的和最小?最小值是多少?
解:设两个直角边分别为a,b,则
,ab=100
∴a+b≥2√ab=2√100=20
当且时等号成立。
此时,a=b=10
∴当两直角边都为10cm时,它们的和有最小值20cm。
变式:直角三角形的两直角边的和为10cm,求这个三角形面积的最大值?
当且仅当a=b时等号成立,此时即a=b=5∴当两直角边都为5cm时,三角形面积有最大值
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