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圆锥曲线的两种定义

圆锥轴

如上图所示，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的

退化形式：两相交直线，一条直线，一个点。

椭圆是平面内到两定点F、F的距离之和等于一个常数（常数为2a，大于|FF|）的动点P

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的轨迹。定点F、F称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF|+|PF|=2a（2a|FF|）。

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平面内到一定点和一定直线（给定点不在直线上）的距离之比为常数e（0＜e＜1）的点的轨

迹是椭圆。定点叫做焦点，定直线叫做准线。（椭圆的第二定义）

椭圆的一条有趣的性质（光学性质）：从一焦点发出的光束经椭圆反射后必经过另一个焦点。

用数学原理解释：在入射点作椭圆的切线，入射光和反射光与切线夹角相等

平面内与两定点F、F的距离之差的绝对值等于一个常数(常数为2a，小于|FF|)的动点

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P的轨迹称为双曲线。定点F、F称为双曲线的两个焦点。其数学表达式为：|PF|-|PF|=2a

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（2a＜|FF|）。

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三类圆锥曲线统一定义：平面内，到给定一点及一定直线（给定点不在直线上）的距离

之比为常数e的点的轨迹称为圆锥曲线。定点叫焦点，定直线叫准线。

（1）当e＜1时，轨迹是椭圆；

（2）当e=1时，轨迹是抛物线；

（3）当e＞1时，轨迹是双曲线。

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演

了重要角色，即恒星是椭圆两焦点中的一个，是数学科重点研究的一个项目。阿波罗尼奥斯

所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola

（抛物线）、hyperbola（双曲线）等与圆锥截线有关的名词，可以说是古希腊几何学的精擘

之作。直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太

阳运行的轨道，是一种以太阳为其一焦点的椭圆。椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆

转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线

全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），

老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

第二定义

平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率,e=c/a)的点的集合

（定点F不在定直线上,该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭

圆的准线。