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专题10--分式方程及应用

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专题10 分式方程及其应用

一、考纲要求

理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．

了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．

能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．

二、知识梳理

分式方程定义：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程．

分式方程的增根有两个特征：(1)增根使最简公分母为零；

(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．3.解分式方程的一般步骤：

(1)去分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，求得方程的根；

(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．

用换元法解分式方程的一般步骤：

①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；

④检验作答.

即 换元? 求解?还原?求出原方程的解?检验

分式方程的实际应用

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

检验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际．

列分式方程解应用题中常用的数量关系(1)数字问题（包括日历中的数字规律）

①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 100a+10b+c ；

②日历中前后两日差 1 ，上下两日差 7 .(2)工作（工程）问题：工作量=工作效率×工作时间，

相等关系：各部分工作量之和=1

经常从工作量、工作时间上考虑相等关系

打折销售问题

①利润= 售价 -成本；②利润率=利润100%.

成本

行程问题.

追击问题：相等关系为

①同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程

②同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程相遇问题：相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程

航行问题：

顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度，逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度

注：①与追击、相遇问题的思路方法类似；

②抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系.(6)储蓄问题

①利息=本金×利率×期数；

②本息和=本金+利息= 本金+本金×利润率×期数）=本金×（1+利润率×期数）；

③贷款利息=贷款数额×利率×期数.(7)体积变化问题.

三、要点精析

中考中多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要考查以下几点：(1)确定分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定未知数的值；(3)解分式方程；(4)列分式方程解决实际问题，是中考的重点，也是本课时的难点．

易错知识辨析：

去分母时，不要漏乘没有分母的项.

解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是：代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去.

如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.

在列分式方程解决实际问题中，求出方程的解后，要“双检验”.一是检验是否为原方程的解，二是检验是否符合实际意义.

四、中考真题和试题精粹

2 1

1.(2015·原创)把分式方程x?4=x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )

A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4)

【答案】D

【解析】

试题分析：分式方程两边乘以最简公分母后，分式方程就转化成了整式方程，最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数，字母因式则是各分母中每个因式的最高次幂的乘积.所以此方程两边需同乘以x(x+4).故选D.

考点：解分式方程．

2.（2015?四川自贡，第3题4分）方程x2?1?0的解是（ ）

x?1

A.1或－1 B.－1 C.0 D.1

【答案】D

【解析】

试题分析：解分式方程关键是去分母化为整式方程来解，但整式方程的解不一定是分式方程的解，要注意代入最简公分母验根（代入最简公分母后所得到值不能为0）.

试题解析：去分母，得：x2?1?0，

解得x

1

?1,x

2

??1；

把x?1,x

1 2

??1代入x?1?0后知x??1不是原分式方程的解，

原分式方程的解x?1.故选D.考点：解分式方程、分式方程的解.

3.(2015·南宁，第12题3分