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等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式创设情境,提出问题在前面的学习中,我们已经学习了等差数列的定义和通项公式,并探索了等差数列的一些基本性质,你能回顾一下这些知识吗?
据说,200多年前,高斯的算术老师提出了一个问题:1+2+3+…+100=?问题情境高斯用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050。
用一般的眼光看具体问题是发现数学规律的重要思想。从一般的角度看高斯求和的方法,你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质?这个方法的实质是什么?问题1
高斯巧算的“秘密”利用等差数列性质其求和即用的就是首尾配对法,通过配对凑成相同的数,变“多步求和”为“一步相乘”,实现了“化和为积”。
追问你能用高斯的方法求1+2+…+101的结果吗?与1+2+…+100相比,你有什么发现?
问题2将上述问题推广到一般,即:如何用高斯的方法求S=1+2+3+…+n的结果?
n为奇偶对比总结
追问我们发现,无论n取奇数还是偶数,得到的公式的形式都是一样的,这就启发我们想到设法避免对n分奇、偶进行讨论、如何避免呢?
=1+2+3+...+n+=n+(n-1)+(n-2)+...+1这个方法的本质是:无论是奇数个项相加还是偶数个项相加,通过“顺序”“倒序”加两次,都变成了偶数个项相加,从而避免了奇偶讨论。
我们用更一般的眼光看这个公式,还可以发现如下规律:(1)所求的和可以用首项、末项和项数来表示;(2)数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和;(3)数列1,2,…,n的平均数是
问题3
除了上述方法,你还有其他推导等差数列前n项和公式的方法吗?追问
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题:(1)推导等差数列的前n项和公式时,用了哪些巧妙的方法?包含了哪些数学思想?(2)等差数列的前n项和公式有几种形式?它们与等差数列前n项的平均数、通项公式有什么关系?问题4
课后作业:教科书第46~47页,习题2.3,A组第2,5题,B组第4题。
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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