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比例及比例应用题
教师随笔
本讲的内容较多,分为分数的定义与分类、通分与约分的技巧、分数的四则混合运算。为了老师讲解方便,我们加入了有关分数知识总结。知识点总结部分适合对分数零基础的学生,其中知识点的例子可以作为铺垫题。实际教学中,可视学生的实际能力调整讲解内容。例题的线索和知识点的线索是一致的,可以把知识点的讲解融入到例题中去。
一、比的意义
⑴3÷4也可以写作3∶4,读作3比4,比表示两个数的相除关系,两个数相除又叫做两个数的比,比号前面的数叫前项,比号后面的数叫后项,比的结果叫比值。
⑵比与除法和分数的关系
⑶比的性质
由于3÷4=6÷8,所以3∶4=6∶8,因此得到比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(零除外),比值不变
二、比例的意义
⑴比例的定义:表示两个比相等的式子叫做比例。
9 6
如:12:15?4:5
12?8
组成比例的四个数,叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
例如:
在以上3个比例中,我们可以发现:
12:15?4:5 ?12?5?15?4?60
9 6
12?8
?9?8?12?6?72
2.4:1.6?60:40?2.4?40?1.6?60?96
⑵比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
解比例:根据比例的基本性质,如果我们已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,就叫做解比例。(例子很多,随便写3个数就可以求第4个)
如:
x:120?1:5
5x?120?1
x?120?1
5
x?24
三、正比例和反比例(选讲)
正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的比值一定,两种量就叫做正比例的量,他们的关系叫做正比例的关系。如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用下面式子表示:y÷x=k(一定)
反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面式子表示:x×y=k(一定)
例
例1
甲数与乙数的比是3∶4,乙数与丙数的比是6∶5,则甲、乙、丙三数的比是 。
例
例2
1
在一个比例式中,两个外项都是质数,它们的积是39,一个内项是这个积的5,这个
比例式可以是
例
例3
小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3∶4∶6,三人一共藏书52本,求他们三人各自的藏书数量。
例
例4
1 2
希望小学四五六年级共有615名学生,已知六年级学生的2,等于五年级学生的5,等于
3
四年级学生的
7
。这三个年级各有多少名学生学生?
例
例5
小明从甲地到乙地,去时每时走2千米,回来时每时走3千米,回来比去时少用了0.5小时,求甲乙两地间的距离?
例
例6
(2009年十三分小升初入学测试题)甲、乙两人原有的钱数之比为6∶5,后来甲又得到180
元,乙又得到30元,这时甲、乙钱数之比为18∶11,求原来两人的钱数之和为多少?
测试题
甲、乙两个建筑队原有水泥重量比是4:3,当甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水泥重量比变为3:4,甲队原有水泥多少吨?
A,B两地相距360米,前一半时间小华用速度A行走,后一半时间用速度B走完全程。又知A:B 5:4,前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少?
已知一个比例的两个外项分别是 3和1,组成比例的两个比的比值是1,这个比例
4 2
是 。
三个数的平均数是40,三个数的比是1∶2∶3,最大数是 。
答案
【解析】
设甲队原有4x吨,乙队原有3x吨。于是4x?54?3得到x?54,于是4x?4?54?216吨。
3x?54 4
【解析】
全程的一半是360?2?180米,第一种速度行360?
5 ?200米,比一半多20米,第二
5?4
种速度行360?
4 ?160米,比一半少20米,所以所用时间之比是
5?4
200?20:(20?160)?9:11。
5 5 4
【解析】
3:6?1,1:1?1,所以有3:6?1:1
2 8 4 2 8 4
【解析】
最大的数是40?3?
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