2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题09 解答题压轴题（几何综合（二)（含解析）.doc

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专题09解答题压轴题（几何综合（二））

通用的解题思路：

解决矩形翻折问题：

利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；

在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。

2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值

通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。

4、奔驰模型：

解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。

5、线段长度、比值及最值问题：

（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；

（2）圆中垂径定理。

1．（2023·安徽·中考真题）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段SKIPIF10绕点M旋转至SKIPIF10位置，点D在直线AB外，连接SKIPIF10．

??

(1)如图1，求∠ADB的大小；

(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．

（ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD；

（ⅱ）如图3，连接SKIPIF10，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．

【答案】(1)∠ADB=90°

(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）1

【分析】（1）根据旋转的性质得出MA=MD=MB，根据等边对接等角得出∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB，在△ABD中，根据三角形内角和定理即得出∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°，进而即可求解；

（2）（ⅰ）延长AC,BD交于点F，证明四边形SKIPIF10是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，AF=AB，根据等腰三角形的性质，得出D是SKIPIF10的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；

（ⅱ）如图所示，过点E作EH⊥AB于点SKIPIF10，由△AHE∽△ACB，得出EH=3,AH=4，BH=AB?AH=10?4=6，进而根据正切的定义即可求解．

【详解】（1）解：∵MA=MD=MB

∴∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB，

在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°

∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=

（2）证明：（ⅰ）证法一：

如图，延长BD、AC，交于点F，则∠BCF=90°，

??

∵ME⊥AD，∠ADB=90°

∴EM∥BD．

又∵DE∥AB，

∴四边形BDEM是平行四边形．

∴DE=BM．

∵M是AB的中点，，

∴AM=BM．

∴DE=AM．

∴四边形AMDE是平行四边形．

∵ME⊥AD，

∴?AMDE

∴AE=AM．

∵EM∥BD，

∴AEAF

∴AB=AF．

∵∠ADB=90°，即AD⊥BF，

∴BD=DF，即点D是Rt△

∴BD=CD．

证法二：

∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，

∴点SKIPIF10在以M为圆心，AB为直径的⊙M上．

??

∵ME⊥AD，

∴ME垂直平分AD．

∴EA=ED．

∴∠EAD=∠EDA．

∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠EDA．

∴SKIPIF10．

∴BD=CD．

证法三：

∵ME⊥AD，∠ADB=90°

∴EM∥BD．

又∵DE∥AB，

∴四边形BDEM是平行四边形．

∴DE=BM．

∵M是AB的中点，，

∴AM=BM．

∴DE=AM．

∴四边形AMDE是平行四边形．

∵ME⊥AD，

∴?AMDE

∴∠EAD=∠MAD．

∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，

∴点SKIPIF10在以M为圆心，AB为直径的⊙M上．

∴BD=CD．

（ⅱ）如图所示，过点E作EH⊥AB于点SKIPIF10，

??

∵AC=8,BC=6，

∴AB=AC2

∵∠EAH=∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°，

∴△AHE∽△ACB，

∴EHBC

∴EH=3,AH=4，

∴BH=AB?AH=10?4=6，

∴tan

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

2．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

【答案】(1)见解