专题10不等式选讲2019全国卷Ⅰ讲评与真题分析.docx

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析

10．不等式选讲

一、考试大纲

（一）不等式选讲

理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1）a?b?a?b

（2）a?b?a?c?c?b

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

ax?b?c；ax?b?c；x?a?x?b?c

了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.

（1）

a??b?

?a??b?；

（2）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2；

(x?x)2?(y

(x?x)2?(y?y)2

1 2 1 2

(x?x)2?(y ?y)2

2 3 2 3

(x?x)2?(y?y)2

1 3 1 3

(此不等式通常称为平面三角不等式.)

会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：?n

a2??n

b2?(?n

ab)2

会用向量递归方法讨论排序不等式.

i i

i?1 i?1

ii

i?1

了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.

会用数学归纳法证明伯努利不等式：

(1?x)n?1?nx (x??1，x?0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.

会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

（二）基本不等式

1．基本不等式： (a≥0,b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

二、考点讲评与真题分析

不等式选讲部分主要以考查以考查绝对值不等式的解法为主，偶尔也考查不等式证明的方法，经常与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是，考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律，基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力。分析问题的方法是不等式证明的关键，关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.

题型一 绝对值不等式的解法

例1（2018·新课标I卷，23）已知f?x??x?1?ax?1.

当a?1时，求不等式f?x??1的解集；

若x??0,1?时不等式f?x??x成立，求a的取值范围.解析：（I）依题意，x?1?x?1?1，

?x??1, ??1?x?1, ?x?1,

该不等式等价于??x?1?x?1?1,?x?1?x?1?1,或?x?1?x?1?1,

? ? ?

1解得x?

1

2

，即等式f?x??1的解集为?xx?1?；

?2?? ?

?

2

?

（II）依题意，x?1?ax?1?x；当x??0,1?时，该式化为x?1?ax?1?x，即ax?1?1，

?即?1?ax?1?1，即0?ax?2，故?ax?0,在?0,1?上恒成立，

?

?ax?2,

故0?a?2，即a的取值范围为?0,2?.

【解题技巧】形如|x?a|?|x?b|?c(或?c)型的不等式主要有两种解法：

分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(??,a]，(a,b]，(b,??)(此处设a?b)

三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；

图像法：作出函数y

1

?|x?a|?|x?b|和y

2

?c的图像，结合图像求解.

不等式的恒成立问题是高考的重难点，此类问题一般有两种解法：

利用函数思想转化为函数的最值问题进行分析；

通过数形结合构造出两个函数，通过寻找临界状态得到参数的取值范围.

题型二 基本不等式的应用

ab例2【2014，24）】若a?0,b?0，且1?1? .

ab

a b

2(Ⅰ)求a3?b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

2

【解析】：(Ⅰ)由

? ? ? ，得ab?2，且当a?b?

abab1 1 2a b

ab

ab

1 1 2

时等号成立，

故a3?b3

?3 a3b3