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八年级数学勾股定理经典例题解析

八年级数学勾股定理经典例题解析经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中C=90

(1)a=6c=10求b(2)a=40b=9求c;(3)c=25b=15求a.

思路点拨:写解的过程中肯定要先写上在哪个直角三角形中留意勾股定理的变形使用。

解析：(1)在△ABC中C=90a=6c=10,b=

(2)在△ABC中C=90a=40b=9,c=

(3)在△ABC中C=90c=25b=15,a=举一反三

【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是

多少

【答案】∵ACD=90AD=13,CD=12

AC2=AD2-CD2

=132-122

=25

AC=5

又∵ABC=90且BC=3

由勾股定理可得AB2=AC2-BC2

=52-32

=16

AB=4

AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图：在中 .求：BC的长.

思路点拨：由条件想到构造含角的直角三角形为此作于D则有

再由勾股定理计算出AD、DC的进步而求出BC的长.解析：作于D则因

(的两个锐角互余)

(在中假设一个锐角等于

那么它所对的直角边等于斜边的一半).依据勾股定理在中

.

依据勾股定理在中

.

.

举一反三【变式1】如图： 于P.求证：.

解析：连结BM依据勾股定理在中

.

而在中则依据勾股定理有

.

又∵

.

在中依据勾股定理有

.

【变式2】：如图B=D=90A=60AB=4CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解此题的关键可以连结AC或延长AB、DC交于F或延长AD、BC交于点E依据此题给定的角应选后两种进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁。

解析：延长AD、BC交于E。

∵A=60B=90E=30。AE=2AB=8CE=2CD=4

BE2=AE2-AB2=82-42=48BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12DE==。

S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=

类型三：勾股定理的实际应用

(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如下图在一次夏令营活动中小明从营地A点动身沿北偏东60方向走了到达B点然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。

求A、C两点之间的距离。

确定目的地C在营地A的什么方向。解析：(1)过B点作BE//AD

DAB=ABE=60

∵30+CBA+ABE=180CBA=90

即△ABC为直角三角形由可得：BC=500mAB=由勾股定理可得：

所以

(2)在Rt△ABC中

∵BC=500mAC=1000mCAB=30

∵DAB=60DAC=30

即点C在点A的北偏东30的方向举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车其外形高2.5米宽1.6米要开进厂门外形如图的某工厂问这辆卡车能否通过该工厂的厂门

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如下图点D在离厂门中线0.8米处且CDAB与地面交于H.

解：OC=1米(大门宽度一半)OD=0.8米(卡车宽度一半)在Rt△OCD中由勾股定理得：CD===0.6米CH=0.6+2.3=2.9(米)2.5(米).

因此高度上有0.4米的余量所以卡车能通过厂门.(二)用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状目前正在全国各地农村进展电网改造某地有四个村庄A、B、C、D且正好位于一个正方形的四个顶点现打算在四个村庄联合架设一条线路他们设计了四种架设方案如图实线局部.请你帮助计算一下哪种架设方案最省电线.

思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短通过利用勾股定理计算线路长然后进展比较得出结论.

解析：设正方形的边长为1则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

AB+BC+CD=3AB+BC+CD=3

图(3)中在Rt△ABC中同理

图(3)中的路线长为

图(4)中延长EF交BC于H则FHBCBH=CH

由FBH=及勾股定理得：EA=ED=FB=FC=

EF=1-2FH=1-

此图中总线路的长为4EA+EF=32.8282.732

图(4)的连接线路最短即图(4)的架设方案最省电线.举一反三

【变式】如图一圆柱体的底面周长为20cm高AB为4cmBC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A动身沿着圆柱的侧面