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2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
1、两个子空间的直和
例:设VVxxxxxx
和分别是齐次方程组...0和...的解空间,证
1212n12n
明VVV
。
12
证明:因方程组xxxxxxVV
...0和...,只有零解,故0,
12n12n12
从而VVVVVVVVVV
12=12,且12是的子空间,即12≤。
又VV
的维数是n-1,的维数是1
12
故VV的维数是n维,所以VVV。
1212
VVVVVV
注:任给一个的子空间,可以找到子空间使得:
1212
此式称为V的一个直和分解,VV
,称为互补空间
12
2、线性空间中线性变换的象空间与核
例题1:证明:线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间
证明:
TV
因为非空,所以非空
V()
xyVPxyVxV
,,,,
TxTyTxyTV
()()
TxTxTV
()()
故是TV是的线性子空间因为所以非空
()V
因为T所以T非空
0ker()ker()
xyTP则TxTy
,ker(),0,0
于是TxyTxTy故xyT
()0,ker()
TxTx故xT
(),ker()
因此T是的线性子空间。
ker()V
例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数
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