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中考数学热点专题复习
图形的旋转
建南民中 张中建
◆识记巩固
1、旋转:在平面内,把一个图形绕 ,按 旋转 的图形运动,叫做旋转.
2、图形旋转的三个要素:(1) ;(2) ;(3) .
3、旋转的特征:
图形的 和 都没有发生变化;
相等, 相等;
对应点到旋转中心的距离 ;
图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的 ,对应点与旋转中心连线的夹角是 .
4、旋转对称图形识别:观察图形是否存在一点,围绕这一点旋转一定角度后能否与图形
.
5、经过两次对称轴相交的轴对称变换,相当于一次 .
6、在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分.反过来,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被该点,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
◆识记巩固参考答案:
1、某一点一定方向一定角度2、(1)旋转中心(2)旋转方向(3)旋转角度3、(1)形状大小(2)对应线段对应角(3)相等(4)角度对应角4、重合5、旋转6、平分
◆给你提个醒
图形在旋转变换过程中会发生许多变化,但是同样也有许多关系并不会随着图形的变化而变化,这就是旋转变换中的不变关系,是解决旋转变换问题的关键之一。我们要善于归纳以不变应万变的方法和从特殊到一般的数学思想。
◆典例解析
例题1:如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
判断△ABC的形状,并说明理由;
保持图1中ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段
AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;
保持图2中△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明.
图
图1
图2
图3
例题1图
例题2:Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30o、60o角的三角板,按如图(一)所示拼在一起,CB与DE重合.
求证:四边形ABFC为平行四边形;
取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△A?B?C?位置,直线B?C?与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想.
(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).
C(E)ACC(E)
C(E)
A
C
C(E)
Q
O
A
P
B(D)
A
图(一)
B(D)
例题2图
B
图(二)
3例题3:如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2
3
,D、E两点分别在AC、
2BC上,且DE∥AB,CD=2
2
.将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD'E'(如图②,
点D'、E'分别与点D、E对应),点E'在AB上,D'E'与AC相交于点M.
AD求∠ACE’
A
D
求证:四边形ABCD'是梯形;(3)求△AD'M的面积.
A D’
E’
E’
M
图① 图②
(例题3图)
◆巩固练习:
如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.
当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.
①求证:AG⊥CH;
2②当AD=4,DG= 时,求CH的长。
2
A G D
F E
G H
F ME
F M
E
F D D
E
C
图10
B C B
图11
C
图12
解:(1)AG?CE成立.
四边形ABCD、四边形DEFG是正方形,
∴GD?DE,AD?DC, 1分
∠GDE?∠ADC?90?.
∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC 2分
∴△AGD?△CED.
∴AG?CE 3分
(2)①类似(1)可得△AGD?△CED,
1FM PE2∴∠1=∠
1
FM P
E
2
又∵∠HMA=∠DMC.
∴∠AHM?∠ADC=90?. A D
即AG?CH 5分
②解法一:过G作GP?AD于P,
2由题意有GP?PD? ?sin45??1,
2
GP 1
B C
图
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