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深圳市宝安中学2017届高二下学期期中考试(理数)
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深圳市宝安中学2017届高二下学期期中考试
数学(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为1-12题,共60分,第Ⅱ卷为13-22题,共90分。全卷共计150分。考试时间为120分钟。
注意事项:
1、答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。
2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。
3、考试结束,监考人员将答题纸收回。
第Ⅰ卷(本卷共计60分)
一、选择题(每小题只有一个选项,每小题5分,共计60分)
1.设(是虚数单位),则()
A. B. C. D.
2、设都是正数,则三个数()
A.都大于2B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
3、用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是
(A)1 (B)1+a(C)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3
4、函数在点处的切线方程是
A.B.C.D.
5、“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是()
A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形
-22O1-1-1
-2
2
O
1
-1
-1
1
则下面四个图象中的图象大致是
,
,至少有一个方程有实根,试求实数的取值范围.
18、(本小题12分)用数学归纳法证明不等式
19、(本小题12分)已知函数
(1)当时,求的单调区间;
(2)求证:当时,
20、(本小题12分)已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围
21、(本小题12分)已知函数f(x)=eq\f(2,x)+alnx-2(a0).
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对?x∈(0,+∞)都有f(x)2(a-1)成立,试求实数a的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
22、已知函数f(x)=eq\f(x+1,ex)(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+eq\f(1,ex),存在实数x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)φ(x2)成立,求实数t的取值范围.
数学(理科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
B
C
A
B
C
A
C
A
12、解析:至少存在一个,使成立”的否定是“,恒成立”。即可转化为
亦即恒成立。令,
则只需在恒成立即可,∵
当时,在时,,在时,
∴的最小值为,由得,
∴当时恒成立,
当时,,在不能恒成立,
当时,取有在不能恒成立,
∴当时,,恒成立
综上,当时,至少有一个,使成立。
二、填空题
3、14、15、16、;
三、解答题
17、(本小题10分).
解:设三个方程均无实根,则有
解得即.
所以当或时,三个方程至少有一个方程有实根.
18、(本小题12分)
证明:
显然,左端>右端;所以n=1时,原不等式成立。
②假设当n=k(k∈N)时不等式正确,即:
即n=k+1时,不等式也成立
由①、②可知,对任意n∈N+,不等式都成立。
19、(本小题12分)
解:(1)在上单调递减,在上单调递增
(2)证明,即可。
20、(本小题12分)
解:(1)
由,得
,函数的单调区间如下表:
?
极大值
?
极小值
?
所以函数的递增区间是与,递减区间是;
(2),当时,
为极大值,而,则为最大值,要使
恒成立,则只需要,得
21、(本小题12分)
解(1)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-eq\f(2,x2)+eq\f(a,x),
∴f′(1)=-eq\f(2,12)+eq\f(a,1)=-1,解得a=1,∴f(x)=eq\f(2,x)+lnx-2,f′(x)=eq\f(x-2,x2),
由f′(x)0得x2,由f′(x
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