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三次数学危机及在课本中的体现

在数学的发展史上，出现了三次震动较大的数学危机。三次数学危机都有其

产生的背景、解决的过程、相应的产物和作出重大贡献的数学家。哲学修养是第

一流数学家与其他人的又一显著差别。他们对整个数学的内在统一性，对数学的

基础有着深刻的理解，能从哲学的高度看问题。他们重视技巧，但不舍本逐末。

他们能够不像一般人那样只见树木，不见森林，使人对他们的广博深邃，高瞻远

瞩惊叹不已。本文以数学发展中的三次数学危机为线索，讲述在此过程发生的背

景、人物思想等，联系中学课本，具体体现数学史与中学数学教材的联系。

英国科学史家丹皮尔曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事

更有魅力了。”可以说，不了解数学史是不可能全面了解数学的。随着数学教学

改革的逐步深入，数学史越来越受到教育工作者的重视，中学数学新课程标准中

将数学史列为高中阶段的选修内容。不仅如此，初中数学课本各章中也介绍了有

关的数学史。

随着数学知识学习难度的加深,相当多的中学生正逐步丧失了对数学的学习

兴趣,在他们眼里数学只是符号和方程式的堆砌,数学成为了他们心目中一门枯

燥无味的学科。即使有些学生在数学考试中能够取得好成绩,也是为了考试而学

好数学,并不是出于对数学本身的热爱。事实上,数学史对于揭示数学知识的来源

和背景,对于引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学

习气氛,激发学生对数学的兴趣,培养探索精神和审美能力都有重要意义。学生学

习数学史从而了解数学，主动学习数学，爱上数学。数学史教学中折射出的人生

哲理、数学文化与数学人文精神是任何说教无法比拟的。数学史寓于数学知识和

课堂教学之中，其教育潜力十分巨大。

本文以数学发展中的三次数学危机为线索，讲述在此过程发生的背景、人物

思想等，联系中学课本，具体研究数学史与中学数学教材的联系。

第一次数学危机

1.1第一次数学危机产生的背景

第一次数学危机发生在公元前5世纪古希腊时期。当人类逐渐脱离蒙

昧走向文明的时候，不同的民族都会利用他们的原始文明中的经验、思维方式给

这个奇妙变化的世界一种解释：这个世界如何构成的？怎样发展变化的？不同的

民族文化对这种世界的解释表现出各自的智慧形态。他们有的采用了一种从神秘

走向宗教的解释世界的方式，有的形成阴阳学说、金木水火土“五行”学说等来

解释世。

摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，取而代之的

可以理解的决定性的一步是数学知识的应用。在这里，希腊人展示出一种可以与

推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的洞察力：宇宙是以

数学方式设计的，借助于数学知识，人类可以充分的认识它。最早提出自然界数

学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的坐落于意大利南部的毕达哥拉

斯学派。他们很重视数学，企图用数来解释一切，宣称数是宇宙万物的本原，即

“万物皆数”。研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥妙。他们从

五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来是很平常的事，

但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使

算术成为了可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。

毕达哥拉斯学派最大的贡献在于发现了勾股定理，在西方数学中是用毕达哥

拉斯的名字命名勾股定理，根据记载毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有人家的

餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着的是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐

迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾虽然怨言，但却利用这闲暇的时间观察地板上

美丽的方形瓷砖，并从方形瓷砖的结构中得到了一个大胆的假设：任何直角三角

形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……据说毕达哥拉斯在完成这一定理

证明后欣喜若狂，杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩

的称号：“百牛定理”。

然而，毕达哥拉斯证明了勾股定理后，他的一个学生希伯索斯却发现一个神

秘的数，对于边长为1的正方形其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不

能用整数，也不能用分数表示。而是一个人们还没认识的新数。希伯索斯的大胆

发现，实际上推翻了毕达哥拉斯的论断：“世界上只有整数和分数，除此之外，

就没有别的什么数了”，他的发现导致了数学历史的第一个无理数的诞生。小小

的出现却掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数