2000年数学建模B题钢管订购和运输.docx

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钢管订购和运输摘要

本文根据问题的条件和要求，建立两个模型，两个模型均为单目标非线性规划模

型，并通过求解这两个模型，完整地解决了问题。

由于铁路运输费用函数具有不可加性，不能直接应用现有的最短路算法来求解铁路和公路交通网中任意两点间最小费用路问题。本文采用了一种分步递推算法，巧妙解决

了这一问题。

在单目标非线性规划模型中，将管道铺设分为两个过程。先将钢管从钢管厂运到管道与道路交叉口，再从交叉口铺设到管道线上。这样，总的运输费用就化为两个过程的运输费用之和。本模型是以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo软件，

求出问题一的最优解为1278632万元。

对于问题二通过对模型1的灵敏度分析，确定了S?钢厂的销价的变化对购运计划和

总费用的影响最大，确定S1钢厂的生产上限的变化对物运计划和总费用的影响最大。

问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo软件，求得最优解为1407149

万元.

关键词：Floyd算法单目标非线性规划灵敏度分析

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问题重述

有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管S?,S?,…S?。要沿着A→A?→…→A??的主管道铺设，如题图一所示。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路),圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，

lkm主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂S;在指定期限内

能生产该钢管的最大数量为s;个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表：

i

1

2

3

4

5

6

7

Si

800

800

1000

2000

2000

2000

3000

Pi

160

155

155

160

155

150

160

1单位钢管的铁路运价如下表：

里程(km)

≤300

301～350

351～400

401～450

451～500

运价(万

元)

20

23

26

29

32

里程(km)

501～600

601～700

701～800

801～900

901～1000

运价(万

元)

37

44

50

55

60

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元(不足整公里部分按整公里计算)。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只A,A?,…,A?是运到点，而是管道全

线)。

(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小(给出总费用)。

(2)请就(1)的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应

的数字结果。

(3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对题图二按(1)的要求给出模型和

结果。

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问题分析

问题一，首先，所有钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点A?→A?→…→A??,然后才能向左或右铺设。必须求出每个钢管厂S,S?,…S?到每

个节点A→A?→…→A?的每单位钢管的最小运输费用。

对最小运费的求解，我们采用Floyd算法，先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点V?,V的最短路线的长度L,用matlab求得L;对应的铁路单位运费D;同理用Floyd算法求出公路网上的任意两点V;,Vk的最短公路路线的长度Ljk,结果乘以0.1得到公路运费D1;。Cik=min(D,+D1;k),j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺

设点运输单位钢管的最少运输费用。(具体算法及程序见附录)

每个铺设点分别向y,z两个方向展开，通过Lingo编程求出最小铺设费用。运输

费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。

问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和

总费用的影响最大。

问题三，利用同问题一一样的方法，从而可求出某钢厂到某某铺设点运输单位钢

管的最少运输费用。(具体算法及程序见附录)

模型的假设与符号说明

1)基本假设：

①要铺设的管道侧有公路，可运送所需钢管。

②钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转(换车)费用；

③所需钢管均由S;(i=1,..7)钢厂提供；

④假设运送的钢管路途中没有损耗。

2)符号说明：

S;:钢厂S