五年级同余数的概念和性质练习习题.docx

有余数的除法

五年级奥数讲义上：带余数的除法

第四讲带余数的除祛

前OO我们讲到胖法中彼除芬女和除数的整除问莲．除此之，外们如：16-3=5·1，即16=5X3+1，此叶，惊除数除从除数土现了余数，祑们称之为带余数的除祛＆

一般地，如果a是整数，b是整数(b-:/-0) ，邢么一定有另外两个整数q和

r, or b, 便得a.=bXqtr。

当r=O吽，找们称a熊惊b整除。

当r O时，我们称a不能惊b整除，r 为哗戏儿的余数，q为战砂儿的不完全

商（亦笱称为商）．用带余式除又可以表示为a—b=q?-r■ , or b。

例1 一个阿位数去除邓1，特到的余数是41．求这个两位数

分析逵是一道带会除注矩，且罕求的数是大于41的两觉数．解赶可从带余除式入手分析。

解：＇．，被除数－除热二商..余数，

即被除数＝除娄X商＋余数

.·.25：1：除数X商＋41,251-4巨除数x商，

.·.210＝除数X商。

·..210=2X3X5X7,

.·.210的两位数的约数有1,0 14、15、21、30` 35` 42、?O，其中心和70

大于余数41．所以除数号42或TO．即要求的两位数号42或TO。

例2用一个自然数去除男一个整数 萨40, 余数是16＿被除数除数 庶数与余数的和是933, 求被除数和除数各是多少？

解：？被除数：：除数x商＋余数，即被除数＝除数义40+16。

由题惩可知；枝除数＋除数＝933-40-16=877,

... C胖数X40+16) ＋除数＝877,

．．除．热Xi;ll=877-l6,

除数二861 + i;tl

除数＝21,

,．被．除数＝21X40+16=856。

谷：袨除数是856，除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期曰，问这年的10月1日是星期几？胪：十月份共有31天，符周共有7天，

,31=7X4+3,

;．根据题竞可知：有5天的星期数必然是星熙匹、星期五和星期六。

．．．这1年0月的1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始住回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），■II) 的笫1993天是星期几？

胖 每周有7天，1993-7=284（周）．．5．(天），

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二．

例5 一个数除以3余2, 除以5余3，除以7余2, 求适合此条件的最小数。

过是一菹古匪题．它早在《孙子算经》中记有： “今有朸不知其数，＝＝数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

关丁涅菹胚的笚祛，在明朝就流偌著一首韬胚之歌： “＝人同行七十柿，玉杞栏花廿一枝，七子团匣正半月，除百零五便得知．“竞总是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相扣．如果这三个药的和大1于05, 郬么就哉去105, 宜至小于105为止，这样就可以得到满足条件的等．其缸”

方法1: 2X70+3X21+2X15=233233一105X2二23

符合条件的最小自然数是23

例5的庙答方？去不仅就这一种，还可以这样陷：方法2: [3, 7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两菹例题。

例6 一个数除以5余3豐除以6余4, 除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后祯5整除＇}同样“除以6余4”即“加2后被6整除＇｝。

醉：［ 5, 6]—2=28, 即28适台前两个条件。

想 28+[5i 5] 汀 之后能港足”7除余1的条件？

28+[5, 6]X1=118, 148=21X7+1,

又148210=[5, 6, 7]

所以，洹合条件的最小的自然数是148。

例1 一个数除以3余2，除以5余3,院以7和，求符合条件的录小自然数。

解：!P,: 2+3X? 之后熊港足“5除余3”的条件？

2+3X2二8。

再哩：8+[3, 5]汉？之后能滞足”7除余4的条件？

8+[3, 5]X3=53午

．．．符合条件的最小的自然数5是3。

归纳以上两例题的解祛为：痊步满足条件法．当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需铣数的调整，调整时注竞要加上已满足条件中除数的倍数9

解逵类矩目还有其他方注，将会在有关“同余＇，部分讲到。

例8 一