人教B版高中数学选择性必修第一册专题2利用空间向量解决翻折问题课件.ppt

解题思路以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,?设△ABC的边长为a(a0),则D(0,0,0),B?,A?,C?,所以?=?,?=?,?=?,设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),直线BC与平面ABD所成的角为θ,则?即?取y=1,则x=0,z=?,则n=?,所以sinθ=|cosn,?|=?=?=?,故答案为?.9.(2023浙江金华期末)如图,已知平行四边形ABCD,AB=2,BC=4,∠A=60°,E,F分

别是AD,BC的中点.现将四边形CDEF沿着直线EF向上翻折,则在翻折过程中,当

点A到直线BC的距离为?时,二面角A-EF-D的余弦值为????.??????答案?????解题思路连接BE,DF,DB,取EF的中点O,连接OB,OD,易知DE=CF=CD=2,且DE∥CF,则四边形CDEF为菱形,易知∠DEF=∠DCF=60°,则△DEF为等边三角形,所以OD⊥EF,同理可知OB⊥EF,所以二面角A-EF-D的平面角为∠BOD,设∠BOD=θ.因为OB∩OD=O,OB,OD?平面OBD,所以EF⊥平面OBD,且OB=OD=2sin60°=

?,以点O为坐标原点,OB,OF所在直线分别为x轴,y轴,平面OBD内过点O且与平面

ABFE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(?,-2,0),B(?,0,0),D(?cosθ,0,?sinθ),C(?cosθ,2,?sinθ),?=(0,2,0),?=(?cosθ-?,2,?sinθ),所以点A到直线BC的距离d=?=?=?=?,解得cosθ=?.故答案为?.10.(2023山东潍坊期末)如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥DC,AD=4,AB=3,∠

ADE=60°,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到图2所示的几何体.(1)若M为BD的中点,求四棱锥M-ABCE的体积;(2)在线段DB上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余

弦值为??如果存在,求此时直线EM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,说明理由.解题思路????(1)在△ADE中,因为DE⊥AE,AD=4,∠ADE=60°,所以AE=2?,DE=2,所以EC=3-2=1.?(2分)在题图2中,平面ADE⊥平面ABCE,DE?平面ADE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DE⊥AE,所以DE⊥平面ABCE,?(3分)因为M为BD的中点,所以VM-ABCE=?VD-ABCE=?×?×S四边形ABCE×DE=?×?×(1+3)×2?×2=?.?(5分)(2)由(1)知EA,EC,ED两两垂直,以点E为坐标原点,?,?,?的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.?则E(0,0,0),D(0,0,2),C(0,1,0),A(2?,0,0),B(2?,3,0),?=(2?,3,-2),?=(-2?,1,0),?(7分)设?=λ?,则?=(2?λ,3λ,-2λ),易知0λ1,则?=?+?=(0,0,2)+(2?λ,3λ,-2λ)=(2?λ,3λ,2-2λ),即M(2?λ,3λ,2-2λ),所以?=(2?λ,3λ-1,2-2λ),?(9分)设平面MAC的法向量为m=(x,y,z),则?即?令x=1,得m=?,?(10分)易知平面ABCE的一个法向量为n=(0,0,1),由题知|cosm,n|=?=?,解得λ=?,故存在满足题意的点M.此时m=(1,2?,-2?),?=?,?(12分)设直线EM与平面MAC所成的角为θ,则sinθ=|cosm,?|=?=?,所以直线EM与平面MAC所成角的正弦值为?.?(13分)类型三解决空间距离相关问题11.(2023江苏苏州南师苏校阶段练习)已知矩形ABCD,AB=1,BC=?,沿对角线AC将△ABC折起,若二面角B-AC-D的余弦值为-?,则B与D之间的距离为?(????????)A.1????B.?????C.?????D.?C解题思路如图1,过B和D分别作BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,在Rt△ABC中,∵AB=1,BC=?,∴AC=2,易知?AB·BC=?AC·BE,∴BE=?,同理可得DF=?,则AE=CF=?,即EF=2-?-?=1,如图2,∵二面角B-AC-D的余弦值为-?,∴cos?,?=-?,易知?=?+?+?,则?=?=?+?+?+2?·?+2?·?+

2?·?=?+1+?+2×?×?×?=3,则|?|=?,即B与D之间的距离为?,故选C.?