圆锥曲线的综合应用及其求解策略.docx

PAGE

PAGE10

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。

一、定点、定值问题：

这类问题通常有两种处理方法：

①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；

②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

1、不论a为何值时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为 ．

2、已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点

．

x2

3、在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆

y2

?1的左、右顶点为A、B，右焦点

9 5

为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x,y

1 1

)、N(x,y

2 2

)，其中

m0,y

1

?0,y

2

?0。

设动点P满足PF2

1

PB2

?4,求点P的轨迹；

设x

1

?2,x

2

? ，求点T的坐标；

3

设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

4 x2 y2

、已知动直线l与椭圆C：＋ ＝1交于P(x，y)，Q(x，y

)两不同点，且△OPQ的面积

3 2 1 1 2 2

6

S ＝ ，其中O为坐标原点．

△OPQ 2

证明：x2＋x2和y2＋y2均为定值；

1 2 1 2

6设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；

6

椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S ＝S

＝S ＝

？若存在，判断

△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

△ODE

△ODG

△OEG 2

二、最值问题：

常见解法有两种：几何法与代数法。

①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；

②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。

1、椭圆x2?y2

a2 b2

?1(a?b?0)上的点到焦点F（C,0）的最大距离为

2、已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，动点满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则

|OP|的最小值为

3、以椭圆短轴的一端点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积为1，则椭圆长轴的最小值为

4、P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,则P到x轴与到A点的距离之和的最小值

为

▲抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是

5、设实数x、y满足

x2

162

y2

92

?1，则3x+4y的最大值是

最小值是

6、抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是( )A 6 B 9 C 12 D 16

▲若将上题中点A的条件改为A(3,1),其它不变,则应为

7、设F是抛物线G:x2?4y的焦点．设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足

?0????

?0

FA?FB ，延长AF，BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．

x2

8、已知椭圆E：

y2

?1，点P(x,y)是椭圆上一点。

25 16

求x2?y2的最值。

若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。

29、已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?2

2

W.

（Ⅰ）求W的方程；

.记动点P的轨迹为

????????

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值.

，离心率是10、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(? 2,0)，( 2,0) 6，直线y?t与

，离心率是

3

椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为