湖南省岳阳市第一中学等多校2023-2024学年度高二下学期5月月考 数学试题【含解析】.docx

湖南省岳阳市第一中学等多校2023-2024学年度高二下学期5月月考数学试题【含解析】

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知，则（????）

A． B． C．4 D．2

2．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（????）

21

23

25

27

15

18

19

20

A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.4

4．若直线与圆相切，则圆的半径为（????）

A．2 B．4 C． D．8

5．已知向量，则的最小值为（????）

A． B． C．3 D．

6．从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（????）

A． B． C． D．

7．已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．若不等式在上恒成立，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是（????）

A．的最小正周期为

B．

C．的图象关于对称

D．在区间上有且仅有一个零点

10．设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（????）

A．若，则为等差数列 B．若，则

C．若，则是公差为的等差数列 D．若，则的最大值为1

11．已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（????）

A．的准线方程为

B．，，成等差数列

C．若在的准线上，则

D．若在的准线上，则的最小值为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12．的展开式中的系数为.

13．已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是.

14．已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明?证明过程及演算步骤.

15．在数列中，已知.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)求满足不等式的最大整数.

16．近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：

体育运动时长小于1小时

体育运动时长大于或等于1小时

合计

近视

4

无近视

2

合计

(1)请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？

(2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.

附：

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

参考公式：，其中.

17．如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点.

(1)证明：；

(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点为上的一个动点，求面积的最大值；

(3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.

19．已知函数有且仅有两个零点?

(1)求的取值范围；

(2)函数，若与的值域相同，求的值，并证明：

答案

1．A

【分析】根据复数的四则运算可得，，即可得模长.

【详解】由题意可得，则，

所以.

故选：A.

2．C

【分析】解出一元二次不等式和绝对值不等式，再利用交集含义即可.

【详解】，，

.

故选：C.

3．B

【分析】先求出样本中心点，代入回归方程求出，求出预测值结合残差即可得解.

【详解】由题意可知，，

将代入，即，解得，

所以，

当时，，