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专题2空间向量基本定理及空间范围与最值
【题型一】空间向量基底
【典例分析】
(2024·全国·高二课时练习)已知是空间的一组基底,则下列向量中能与,构成一组基底的是(???????)
A. B. C. D.
【提分秘籍】
1.基本零向量能否作为基向量?
不能.零向量与随意两个向量a,b都共面
2.基底的推断思路
(1)推断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是推断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底.
(2)推断基底时,经常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点动身的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的推断.
【变式训练】
1.(2024·全国·高二专题练习)已知是空间一个基底,,,确定可以与向量,构成空间另一个基底的是(???????)
A. B. C. D.
2.(2024·全国·高二课时练习)若为空间的一组基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是(???????)
A. B.
C. D.
3.(2024·上海市松江二中高二期中)已知向量是空间的一组基底,则下列可以构成基底的一组向量是(???????)
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【题型二】基底表示向量
【典例分析】
(2024·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习)如图,在平行六面体中,,,,点在上,且,则等于(???????)
A. B.
C.- D.
【提分秘籍】
基本规律
用基底表示向量的步骤
(1)定基底:依据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,须要依据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最终求出结果.
(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间全部向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
【变式训练】
1.(2024·全国·高二课时练习)已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为(???????)
A. B.
C. D.
2.(2024·全国·高二专题练习)如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BMBB1,D1ND1D,若,则x+y+z=()
A. B. C. D.
3.(2024·全国·高二课时练习)在四面体中,,,,点满意,为的中点,且,则(???????)
A. B. C. D.
【题型三】共面
【典例分析】
(2024·全国·高二课时练习)已知空间中四个点,,,,为空间的一组基底,则下列说法正确的是(???????)
A.,,,四点共线
B.,,,四点共面,但不共线
C.,,,四点不共面
D.
【提分秘籍】
基本规律
证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间随意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)假如两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
【变式训练】
1.(2024·全国·高二课时练习)已知空间四点,,,共面,则的值为(???????)
A. B. C. D.
2.(2024·重庆市巫山大昌中学校高二期末)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,下列条件中能确定点M与点A,B,C确定共面的是
A. B.
C. D.
3.(2024·全国·高二期末)已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C确定共面的是
A. B.
C. D.
【题型四】空间向量概念综合
【典例分析】
(2024·全国·高二)下列命题中正确的个数是(???????).
①若与共线,与共线,则与共线.
②向量,,共面,即它们所在的直线共面.
③假如三个向量,,不共面,那么对于空间随意一个向量,存在有序实数组,使得.
④若,是两个不共线的向量,而(且),则是空间向量的一组基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式训练】
1.(2024·广东·顺德市李兆基中学高二期中)以下命题
①是共线的充要条件;
②若是空间的一组基底,则是空间的另一组基底;
③.
其中正确的命题有(???????)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2024·安徽·阜阳市第三中学高二期末(理))以下四个命题中正确的是(???????)
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若为空间向量的一组基底,则构成空间向量的另一组基底
C.为直角三角形的充要条件是
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3.(2024·全国·高二课时练习)在以下命题中,不正确的个数为()
①是,
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