高中数学热点题型增分练专题18等比数列范围最值及函数性质教师版新人教A版选择性必修第二册.docVIP

专题18等比数列范围最值及函数性质

【题型一】等比数列前n项积

【典例分析】

已知等比数列满意，记，则数列（????）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义推断作答.

【详解】依题意，等比数列的通项公式，

，，

由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的，

于是得数列的最大项为，而n为奇数时，，n偶数时，，

所以和分别是数列的最大项和最小项.

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：

1.n=1，得a1

2.n时，

所以

【变式训练】

1.已知等差数列，等比数列的前n项和之积为，设等差数列的公差为d、等比数列的公比为q，则以下结论正确的个数是（????）

①????②????③????④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】由题意设等差数列、等比数列的前n项和分别为，，因式分解得，从而得，即可求解出，无法求解出，可得答案.

【详解】明显等比数列不是常数列，

设等差数列、等比数列的前n项和分别为，，

其中A，B，C，q为常数，，，

因为，

即等差数列、等比数列的前n项和之积为，

所以，

所以，

所以，，，所以不能推断出的值，故只有④正确.

故选：A

2..已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（????）

A．若，则数列单调递增

B．若，则数列单调递增

C．若数列单调递增，则

D．若数列单调递增，则

【答案】D

【分析】依据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可推断A、B；

举例首项和公比的值即可推断C；

依据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可推断D.

【详解】A：由，得，即，则、取值同号，

若，则不是递增数列，故A错误；

B：由，得，即，则、取值同号，

若，则数列不是递增数列，故B错误；

C：若等比数列，公比，则，

所以数列为递增数列，但，故C错误；

D：由数列为递增数列，得，所以，

即，所以，故D正确.

故选：D

3.设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（????）

A．数列的公比为 B．

C．存在最大值，但无最小值 D．

【答案】C

【分析】依据题意，由，求出公比，可推断A的正误；利用等比数列的前项和公式求出，可推断B的正误；依据题意求出，可推断C，D的正误.

【详解】因为，，

所以正项等比数列的公比满意，且，

所以，故A错误；

由等比数列的前项和公式可得，，

因为，所以，故B错误；

因为，

所以，

易知，由指数函数单调性可知，

所以存在最大值，但无最小值，故C正确；

，故D错误；

故选：C.

【题型二】与通项和Sn有关的正负比较

【典例分析】

已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是（）

A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0

C．若a1＞0，则S2024＞0 D．若a1＞0，则S2024＞0

【答案】C

【分析】结合等比数列的有关学问对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，等比数列：，满意，但，A错误.

B选项，等比数列：，满意，但，B错误.

C选项，，若，则；若，则，此时与同号，所以，C正确.

D选项，，若，则，D错误.

故选：C

【变式训练】

1.设等比数列的前n项和为，其中，则下列说法正确的是（????）

A．若，则（，2，3．…）

B．若，则（，2，3．…）

C．若，则（，2，3，…）

D．若，则（，2，3，…）

【答案】C

【分析】依据等比数列通项公式和前n项和公式分析首项a1，公比q的范围即可得解.

【详解】设等比数列()的公比q(q≠0)，

由，即得或，当，n为偶数时，，即A不正确；

当，n为偶数时，，，B不正确；

由，即得，

当，n为偶数时，，即D不正确；

或时，，时，，

时，，，所以a10，q-1，q≠0，有Sn0，即C正确.

故选：C

2.等比数列各项均为实数，公比为，给出以下三个结论：①若，则；②若，且，则；③若，则．其中全部正确结论的个数为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】选项①，由可得，转化分析可推断；

选项②，用基本量表示可得，，分析即可推断；

选项③，由，可得，转化，分析可得解

【详解】选项①，若，则，又，则，故，正确；

选项②，若，，则，

由于，故，即，正确；

选项③，若，则，则，则

由于，故，故，错误

故其中正确结论的个数为2

故选：C

3.已知等比数列的前项和为，下列确定成立的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】依据题意，结合特别值，，三类状况探讨求解即可.

【详解