高中数学热点题型增分练专题16等差数列“函数性质”及综合应用学生版新人教A版选择性必修第二册.docVIP

专题16等差数列“函数性质”及综合应用

【题型一】等差数列前n项和对称性

【典例分析】

在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（????）

A．2024 B．2024 C．2024 D．2024

【提分秘籍】

基本规律

．等差数列与函数关系：

(1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列?通项an为一次函数：即an＝kn＋b(a、b为常数)；

(2)经整理Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列?Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．

【变式训练】

1.已知递减的等差数列满意，则数列的前n项和取最大值时n=（????）

A．4或5 B．5或6 C．4 D．5

2.记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（????）

A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

3.已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（????）

A． B． C． D．

【题型二】通项公式线性（零点正负）

【典例分析】

在等差数列中，为的前n项和，，，则无法推断正负的是（????）

A． B． C． D．

【提分秘籍】

基本规律

等差数列通项公式an为一次函数：即an＝kn＋b(a、b为常数)，具有直线性质，当k即公差d不为零时，具有单调性，且首项的正负，还确定是否有“零点。”，即正负项分界点

【变式训练】

1.数列中，已知，该数列中相邻两项积为负数的是（????）

A．和 B．和 C．和 D．和

2.首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3.数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（????）

A． B． C． D．

【题型三】等差数列不等式范围

【典例分析】

设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（????）

A．数列的最小项为第项 B．

C． D．时，的最大值为

【提分秘籍】

基本规律

等差女数列关于首项和公差的等式或者不等式（不定方程），会涉及到范围的取值，大多数状况下，其不等式组是老教材“线性规划”的应用，只是改成了解不等式组而已。

【变式训练】

1.的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（????）

A． B． C． D．

2.设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（????????）

A． B．

C． D．

3.．设函数，数列满意，若是等差数列.则的取值范围是___________.

【题型四】最值与范围1：通项最值

【典例分析】

数列满意，，且对随意正整数，有，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【提分秘籍】

基本规律

等差数列或者等差数列前n项和通项公式转化求最值，转化为函数求最值与范围，要留意对应的自变量是正整数n，所以多把自变量限制在正实数或者[1,+）内

【变式训练】

1.等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S120，S130，则数列{|an|}的最小项是（????）

A．第6项 B．第7项

C．第12项 D．第13项

2.已知函数．若数列的前n项和为，且满意，，则的最大值为（????）

A．9 B．12 C．20 D．

3.等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（????）

A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为

【题型五】最值与范围2：前n项和最值

【典例分析】

已知公差不为0的等差数列的前n项和，，是和的等比中项，则（????）

A．有最大值9 B．有最大值25 C．没有最小值 D．有最小值-24

【提分秘籍】

基本规律

与等差数列前n项和有关的最值，大致有以下：

1.Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．涉及到最值即可从二次函数图像对称轴来求解。

2.涉及到等差数列首项和公差异号，则可以从正（或者负项）和最大（小）入手。

Ⅰ.当a10，d0且满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))时，Sm最大；

Ⅱ.当a10，d0且满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))时，Sm最小.

3.涉及到与1/n有关，可以从构造对钩函数，双曲函数等构造函数入手。

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【变式训练】

1.已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为

A．2024 B．2024 C．2024 D．2017

2.等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时,的值为

A．23 B．25 C．23或24 D．23或25

3.已知数列满意，若不等式恒成立，则的最大值