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压轴题01正方形选、填压轴题
01正方形与“赵爽弦图”的综合
正方形与“赵爽弦图”综合题思考要点:
此时的正方形有2个,做题中,常用等量关系为——①正方形边长相等;②正方形的面积=边长2
有“赵爽弦图”就有直角三角形全等,对应边相等要多注意;
“赵爽弦图”就是勾股定理,所以此类问题,最终都要找到一个适合的直角三角形,用勾股定理列方程求长度。
1.(2023?杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β,则n=()
A.5 B.4 C.3 D.2
2.(2023?淄博)勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志,千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图”中,连接EG,DG.若正方形ABCD与EFGH的边长之比为:1,则sin∠DGE等于()
A. B. C. D.
3.(2023春?武汉期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”,如图,四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方形EFGH,连接EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P,若GO=GP,则直角三角形的边CG与BG之比是()
A. B. C. D.
02正方形与“面积”的综合
求面积就是求长度,此类综合题在正方形的基础上,还有重点考虑以下几点规律:
①有正方形就有边相等,角=90°,当正方形很多时,注意能否证三角形全等来转化等量线段;
②所求图形面积规则,则直接求面积(或面积的表达式),图形面积不规则,则间接求其面积(割补法);
③求面积就是求长度,等量关系很多时,求长度勿忘勾股定理;
1.(2023?金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边在AB的同侧作三个正方形,点F在GH上,CG与EF交于点P,CM与BE交于点Q,若HF=FG,则的值是()
A. B. C. D.
2.(2023春?镇海区校级期末)如图,在长方形ABCD中,点E、F分别落在AD、BC上,连接EF得到正方形ABFE.在BF上取一点G,DC上取一点H,使得GF=DH,连接GK.若AG⊥GH,知道下列哪个条件,则可求正方形ABFE的面积()
A.△KGF的周长 B.△KGF的面积
C.梯形AGFE的周长 D.梯形AGFE的面积
3.(2022秋?温州期末)如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成.点E为小正方形的顶点,延长CE交AD于点F,连结BF交小正方形的一边于点G,若△BCF为等腰三角形,AG=5,则小正方形的面积为()
A.15 B.16 C.20 D.25
03正方形与“三角函数”的综合
正方形与“三角函数”类综合问题做题方法:
①已知某角的三角函数,但该角不在直角三角形中,则常作垂线构造,或找到该角的等价角,再利用比值设未知数;
②此时的三角函数常用其正切值
③求某个角的三角函数值,可以直接求,也可以转化成其等价角的正切值来求,常见转化等价角的方法有——全等/相似三角形的对应角相等,平行线内错角/同位角相等,等腰三角形等边对等角等;
1.(2023?瑞安市模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以其三边为边向外作正方形,连结EH,交AC于点P,过点P作PR⊥FG于点R.若,,则PR的值为()
A.10 B.11 C. D.
2.(2023?温州模拟)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示,点E为小正方形的顶点,延长CE交AD于点F,BF分别交AM,DN于点G,H,过点D作DN的垂线交BF延长线于点K,连结EK,若△BCF为等腰三角形,,则的值为()
A. B. C. D.
04正方形与“相似三角形”的综合
此类问题注重一点:求比值,找相似,正方形相似,多找平行相似的A字图和8字图,以及K型相似。
1.(2023?杭州一模)如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上(不与点B,C重合,点F在边AB上,且AF=BE,连接AE,DF,对角线AC与DF交于点G,连接BG,交AE于点H.若DF=4GH,则=()
A. B. C. D.
2.(2023?鹿城区二模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别
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