- 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
专题05三角形面积最值问题
一、知识导航
求三角形的面积是几何题中常见问题之一,可用的方法也比较多,比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式,本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.
【问题描述】在平面直角坐标系中,已知、、,求△ABC的面积.
【分析】显然对于这样一个位置的三角形,面积公式并不太好用,割补倒是可以一试,比如这样:
构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.
这是在“补”,同样可以采用“割”:
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离.
由题意得:AE+BF=6.
下求CD:
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为:
由点C坐标(4,7)可得D点横坐标为4,
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,
故D点坐标为(4,2),CD=5,
.
【方法总结】
作以下定义:
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”;
过点C作x轴的垂线与AB交点为D,线段CD即为AB边的“铅垂高”.
如图可得:
【解题步骤】
(1)求A、B两点水平距离,即水平宽;
(2)过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;
(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;
(4)根据C、D坐标求得铅垂高;
(5)利用公式求得三角形面积.
【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间,如何求面积?
铅垂法其实就是在割补,重点不在三个点位置,而是取两个点作水平宽之后,能求出其对应的铅垂高!因此,动点若不在两定点之间,方法类似:
【铅垂法大全】
(1)取AB作水平宽,过点C作铅垂高CD.
(2)取AC作水平宽,过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D,BD即对应的铅垂高,
(3)取BC作水平宽,过点A作铅垂高AD.
甚至,还可以横竖互换,在竖直方向作水平宽,在水平方向作铅垂高.
(4)取BC作水平宽,过点A作铅垂高AD.
(5)取AC作水平宽,过点B作铅垂高BD.
(6)取AB作水平宽,过点C作铅垂高CD.
二、典例精析
例一、
如图,已知抛物线经过,两点,与轴的另一个交点为.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点为该抛物线上一动点(与点、不重合),设点的横坐标为m.当点在直线的下方运动时,求的面积的最大值.
【分析】
(1),
(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽,过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q,则PQ即为铅垂高.
根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4,
根据B、C两点坐标得直线BC解析式:y=x+1,
设P点坐标为(m,m2+6m+5),则点Q(m,m+1),
得PQ=-m2-5m-4,
考虑到水平宽是定值,故铅垂高最大面积就最大.
当时,△BCP面积最大,最大值为.
【小结】选两个定点作水平宽,设另外一个动点坐标来表示铅垂高.
例二、
在平面直角坐标系中,将二次函数的图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点在一次函数的图像下方,求面积的最大值,并求出此时点的坐标.
【分析】
(1)抛物线解析式:;
一次函数解析式:.
(2)显然,当△ACE面积最大时,点E并不在AC之间.
已知A(-1,0)、,
设点E坐标为,过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点,
F点横坐标为m,代入一次函数解析式得
可得
考虑到水平宽是定值,故铅垂高最大面积最大.
既然都是固定的算法,那就可以总结一点小小的结论了,
对坐标系中已知三点、、,
按铅垂法思路,可得:
如果能记住也不要直接用,可以当做是检验的方法咯.
【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法,尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题,弄明白方法原理,熟练方法步骤,加以练习,面积最值问题轻轻松松.
三、中考真题演练
1.(2023·辽宁阜新·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于点和点,与y轴交于点C.
??
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线交于点D,若点M是直线上方抛物线上的一个动点,求面积的最大值.
2.(2023·湖南娄底·中考真题)如图,抛物线过点、点,交y轴于点C.
??
(1)求b,c的值.
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时,的面积最大?并求出面积的最大值;
3.(2023·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C.
??
(1)求抛物线对应的函数解析式,并直接写出顶点P的坐标;
(2)求的面积.
注:抛物线的对称轴是直线,顶点坐标是.
4.(2023·山东青岛·中考真题)如图,在菱形中,对角线相交于点O,,.动点P从点
您可能关注的文档
- 2024年中考数学二次函数压轴题专题06 四边形的面积问题(学生版).docx
- 2024年中考数学二次函数压轴题专题04 面积定值问题(学生版).docx
- 2024-2025学年小学英语六年级上册冀教版(三起)(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学科学五年级下册冀人版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学劳动五年级上册湘人版《劳动实践指导手册》教学设计合集.docx
- 2024-2025学年高中语文必修三北师大版教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学科学二年级下册粤教粤科版(2017秋)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年初中物理八年级上册(2024)人教版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年初中化学九年级上册北京课改版教学设计合集.docx
- 2024-2025学年初中历史与社会(人文地理)下册人教版(人文地理)教学设计合集.docx
- 第十一章 电流和电路专题特训二 实物图与电路图的互画 教学设计 2024-2025学年鲁科版物理九年级上册.docx
- 人教版七年级上册信息技术6.3加工音频素材 教学设计.docx
- 5.1自然地理环境的整体性 说课教案 (1).docx
- 4.1 夯实法治基础 教学设计-2023-2024学年统编版九年级道德与法治上册.docx
- 3.1 光的色彩 颜色 电子教案 2023-2024学年苏科版为了八年级上学期.docx
- 小学体育与健康 四年级下册健康教育 教案.docx
- 2024-2025学年初中数学九年级下册北京课改版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年初中科学七年级下册浙教版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学信息技术(信息科技)六年级下册浙摄影版(2013)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学美术二年级下册人美版(常锐伦、欧京海)教学设计合集.docx
文档评论(0)