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主成分分析的数学模型
假设原来的变量指标为X1,X2…,Xk经过标准化后得到标准指标变量X
Xj=Xj-X
其中Xj是第j个指标变量的均值,sj是第j个指标变量的标准差。他们的综合指标(新变量指标)为z1,z2,…,zm(
将k个标准变量X1,X2,…,XK转换成了k个新变量z
●zi和zj独立,i≠j,i,j=1,2,…,
●vaX(z1)≥vaX(z2)≥…≥vaX(z
●li12+li22+…+l
z1,z2,…,zm是X1,X2,…,XK的k个主成分,其中z1为第一主成分,z2为第二主成分,zk为第k
主成分分析的方法步骤
主成分分析的过程就是确定原来的变量Xj(j=1,2,…,k)在个主成分zj(j=1,2,…,k)上的载荷lij(i,j=1,
从主成分分析的数学模型可以看出,主成分分析的任务是估计主成分,确定主成分的个数,解释主成分的实际意义和计算主成分得分。
假设有k个指标X1,X2…,Xk,每个指标有n个观测值,它们的标准化变量是X
样品号
观测指标
X
X
…
X
1
X
X
…
X
2
X
X
…
X
…
…
…
…
…
N
X
X
…
X
计算步骤如下:
对原始指标数据进行标准化变换:
Xij=Xij-Xjs
将原始数据标准化,然后利用标准化的数据计算主成分,X为标准化后的数据矩阵,则:
X=X
计算相关系数矩阵:
R=Cov(X)=r11r12
其中,
rij
计算相关矩阵的特征值和特征值所对应的特征向量:
Cov(X)L=LVar(
L=l
由于R为半正定矩阵,故可由R的特征方程
R-λI
求得k个非负特征值λi(i=1,2,…,k
λ1≥λ2≥…≥
再由R-λ1I
解得每一个特征值对应的特征向量li=(
Zi=liX=li1X
计算主成分贡献率及累计贡献率
各个主成分互不相关,即zi和z
rzi,zj
于是各相关系数的矩阵为单位矩阵。
一般来说,主成分Zi
λii=1kλi=
而累计贡献率的计算方法为:
i=1p
确定主成分的个数
当得到k个主成分后,要根据确定主成分的准则和主成分的实际意义来确定主成分的个数,一般来说,确定主成分的准则有两个:=1\*GB3①以累计贡献率来确定:当前p个主成分的累计贡献率达到某一特征值时(一般采用70%~85%为准则),则保留前p个主成分。=2\*GB3②根据特征值的大小来确定,一般来说,取特征值大于或等于1为准则。若有s个特征值大于或等于1,那么久可以确定主成分个数为s个。一般可以将两种主成分个数的确定方法结合起来,选出有实际意义的主成分。
计算主成分的载荷
第i个主成分Zi的特征值的平方根λi与原始指标Xj
qij=
为因子的载荷。由因子载荷构成的矩阵称为因子载荷矩阵。实际上,因子载荷qij是第i个主成分Zi与第j原始指标Xj之间的相关系数,它反映了主成分Zi
计算主成分得分
如果标准化变量X1,X2,…,
Zi=liX=li1X
其中,Xij=Xij-Xjsj,j=1,2
zi=li1s1x1+li2s2x2+…+liksk
将每个样本的k个指标变量以及它们的均值和标准差代入上式,就可以得到每个样本主成分得分。
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