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三角形常见辅助线的做法利用三角形的角平分线构造全等三角形
一、倍长中线法遇到中线可以利用倍长中线,构造X全等,即把中线延长一倍,来构造全等三角形。如图,假设AD为△ABC的中线,结论:ABCDE12延长AD到E,使DE=AD,连结BE〔也可连结CE〕。△ABD≌△ECD,∠1=∠E,∠B=∠2,EC=AB,CE∥AB。
可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。二、角平分线对称全等如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。方法一:ABCDE必有结论:在AB上截取AE=AC,连结DE。△ADE≌△ADC。ED=CD,3*21∠AED=∠C,∠ADE=∠ADC。
方法二:ABCDF延长AC到F,使AF=AB,连结DF。必有结论:△ABD≌△AFD。BD=FD,3*21如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。∠B=∠F,∠ADB=∠ADF。
ABCDMN方法三:作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N。必有结论:△AMD≌△AND。DM=DN,3*21如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN,∠ADM=∠AND。〔还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN〕
证明:例1:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线〔〕∴∠1=∠2〔角平分线定义〕在△ABD和△EBD中∵AB=EB〔〕∠1=∠2〔已证〕BD=BD〔公共边〕∴△ABD≌△EBD〔〕1243∵∠3+∠4=180°〔平角定义〕,∠A=∠3〔已证〕∴∠A+∠C=180°〔等量代换〕321*∴∠A=∠3〔全等三角形的对应角相等〕∵AD=CD〔〕,AD=DE〔已证〕∴DE=DC〔等量代换〕∴∠4=∠C〔等边对等角〕AD=DE〔全等三角形的对应边相等〕
证明:例1:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F,使BF=BC,连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线〔〕∴∠1=∠2〔角平分线定义〕在△BFD和△BCD中∵BF=BC〔〕∠1=∠2〔已证〕BD=BD〔公共边〕∴△BFD≌△BCD〔〕1243∵∠F=∠C〔已证〕∴∠4=∠C〔等量代换〕321*∴∠F=∠C〔全等三角形的对应角相等〕∵AD=CD〔〕,DF=DC〔已证〕∴DF=AD〔等量代换〕∴∠4=∠F〔等边对等角〕∵∠3+∠4=180°〔平角定义〕∴∠A+∠C=180°〔等量代换〕DF=DC〔全等三角形的对应边相等〕
证明:例1:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M,DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线〔〕∴∠1=∠2〔角平分线定义〕∵DN⊥BA,DM⊥BC〔〕∴∠N=∠DMB=90°〔垂直的定义〕在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB〔已证〕∠1=∠2〔已证〕BD=BD〔公共边〕∴△NBD≌△MBD〔〕12∴∠4=∠C〔全等三角形的对应角相等〕N43321*∴ND=MD〔全等三角形的对应边相等〕∵DN⊥BA,DM⊥BC〔〕∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD〔已证〕AD=CD〔〕∴Rt△NAD≌Rt△MCD〔H.L〕∵∠3+∠4=180°〔平角定义〕,∠A=∠3〔已证〕∴∠A+∠C=180°〔等量代换〕
证明:例1:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M,DN⊥BA交BA的延长线于N。12N43321*∵BD是∠ABC的角平分线〔〕DN⊥BA,DM⊥BC〔〕∴ND=MD〔角平分线上的点到这个角的两边距离相等〕∴∠4=∠C〔全等三角形的对应角相等〕∵DN⊥BA,DM⊥BC〔〕∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD〔已证〕AD=CD〔〕∴Rt△NAD≌Rt△MCD〔H.L〕∵∠3+∠4=180°〔平角定义〕
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