专题05 条件概率【考点串讲】（解析）.docxVIP

高中数学精编资源

PAGEPage1/NUMPAGESPages6

专题05条件概率

知识点1条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

【思考】P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？

【答案】P(A|B)＝，其中P(B)0.

知识点2概率乘法公式

对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．

知识点3条件概率的性质

设P(A)0，则

(1)P(Ω|A)＝1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．

知识点4全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我们称该公式为全概率公式．

知识点5贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，P(B)0，有，i＝1,2，…，n

【思考】怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？

【答案】如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式．

【思考】贝叶斯公式的几何意义是什么？

【答案】如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P(A|B)表示原因A在结果B中的比重．

知识点6求条件概率的常用方法

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).

知识点7利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；

(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；

(3)代入全概率公式计算．

考点1利用定义求条件概率

【例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30.

根据分步乘法计数原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，

所以P(A)＝eq\f(n?A?,n?Ω?)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).

(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).

(3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，

第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).

方法二因为n(AB)＝12，n(A)＝20，

所以P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).

【解后感悟】利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．

(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

【变式1-1】某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()

A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,10)C.eq\f(8,10)D.eq\f(9,10)

【答案】A

【解析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝eq\f(9,10)，P(B|A)＝eq\f(1,9)，

所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(1,10).

【变式1-2】设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率0.4，现有一个20岁的这种动物，