厦门大学《线代参考答案》课程试卷2.docx

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厦门大学《

厦门大学《线代参考答案》课程试卷

主考教师:线性代数教学组

试卷类型:(A卷)2007.1.

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(C)矩阵A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。

2.(A)

r

r

3.(D)

2x

x

4.(B)

12, 8, 6

1

2

1

二、填空题:(每小题5分,共20分)

1.……,则参数t等于 1 . 2.……,关于这组基的坐标为 (

1 1

,0,)T

2 2

……,初等矩阵的乘积是

1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 1 0

或……

3 1 0 2 0 1 3 1 0 1 0 2

……,则a的取值范围是

2 a 2

三、计算证明题:(共60分)

1.(8分)解由于AB A 2B知(A 2E)B A 2

11 015121164由于

1

1 0

1

5

1

2

1

1

6

4

2 2 31

1 4 3

34

1

4

3

4

2

3

3

8

6

B

(A

2E)1A

1

5

3

1

1

0

2

9

6.

2

1

6

4

1

2

3

2

12

9

2.(10分)解设 是矩阵A1对应于特征向量 的特征向量,则 A-1 =

两边同时左乘矩阵A,得 =A 2

1

2

1

1

1

3

k

k

1

2

1

k

2

2k

.由此得线性方程组

1

1

1

2

1

3

k

3 k 1,

2 1 k k. 解得

1, 1,

1 或 2 4

k 2. k 1.

因此当k 2或1时,向量 是A

1的特征向量。 8--

3.(12)解对该方程组的系数矩阵作初等行变换

1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0

A

1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

于是化为同解的阶梯形方程组为

x x x

1 4 5

x x

2 4

0,

0, 即

x x x,

1 4 5

x x,

2 4

x x 0, x x,

3 4 3 4

因R(A) 3,故解空间的维数为5-3=2,即基础解系含2个线性无关的向量,由上式易得齐次线性方程组

的一个基础解系 1,1,1,1,T0, 1,0,0,0,1T. 6

1 2

将 , 正交化,取 1,1,1,1,T0

1 2 1 1

, 1 3111 T

2 1

2 2 , 1

1,0,0,0,T1 1,1,1,1,T0

4

,,,,1 故 4

4444

1 1

1111 T

11,,,,0 ,

1

1

1 2222

2227T3,1 ,1 ,1 ,2

2

2

27

T

2 272727 7

即为所求得一个标准正交基。

4.(10分)证明因为A i1,2,则A A A A 3

i i 1 2 1 2 1 1 2 2

设存在两个参数k,k,使得k kA 0, 1

1 2 1 2

即k k k k

k k 0

1 1 2

2 1 1 2 2

1 21 1

1 2 2 2

又对应于不同特征值的特征向量线性无关,故 , 线性无关,于是

1 2

k k 0

1 21

由于行列式

k k 0

1 2 2

1

1 0,

1 2 1

2

故 k =k=0

1 2

因此 ,A 线性无关。 -

1 0 2

5.(15分)解二次型对应的对称矩阵A 0 1 2 。1--.

2 2 1

1 0 2

A的特征方程为E A0

2

1 2 3 1 3 0

2 1

故A的特征值为

1

3, 1, 3. 6

2 3

1202101

1

2

0

2

1

0

1

A

0

2

2

0

1

1

,=(1,

1,T1,)

单位化

E

1 1

2 2 4 0 0 0

1 1 1

333=

3

3

3

1

T

2

A的属于特征值为

2

1的特征向量

0 0 2

E A 0 0 2

2

1 1 0

0 0 1 ,

2

1

=(-1,1, 0)T,单位化 =

2

1 T

220 2

2

2

2 2 2 0 0 0

(ii)i

A的属于特征值为 3的特征向量

3

4

0

2

2

0

1

1

E

A

0

2

4

2

2

2

0

0

2

0

1

0

,

3

=(1,1,T,-2单)位化

3

=

1

6

1

6

2

6

T

2

1 1 1

3 2 6

3

2

6

故正交变换矩阵为 P

1 1 1

6。令x=py,则f(x)=32y+y2–3y2

6

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