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第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.已知集合,,则集合()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据集合交集的含义可得答案.
【详解】因为集合,,所以.
故选:B.
2.已知全集为,集合,满意,则下列运算结果为的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意作出Venn图,再由集合的运算逐一推断即可
【详解】全集,集合,满意,绘制Venn图,如下:
对于A:,A错误;
对于B:,B错误;
对于C:,C错误;
对于D:,D正确.
故选:D.
3.一家商店运用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金,售货员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最终将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金()
附:依据力矩平衡原理,天平平衡时有,其中、分别为左、右盘中物体质量,、分别为左右横梁臂长.
A.等于 B.小于 C.大于 D.不确定
【答案】C
【解析】
【分析】设天平左臂长,右臂长,且,依据已知条件求出、的表达式,利用基本不等式比较与的大小关系,即可得出结论.
【详解】设天平左臂长,右臂长,且,
设天平右盘有克黄金,天平左盘有克黄金,所以,
所以,,则.
故选:C.
4.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一,即所谓的“”问题.1966年,我国数学家陈景润证明白“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”,则该猜想的否定为()
A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
【答案】D
【解析】
【分析】依据全称命题与存在性命题的关系,精确否定,即可求解.
【详解】依据全称量词命题的否定为存在量词命题,A,C错误;
哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.
故选:D.
5.已知,则的最小值为()
A.6 B. C. D.4
【答案】B
【解析】
分析】依据得到,然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设,,则,,
,当且仅当,即,时,等号成立.
故选:B.
6.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热忱好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何说明,这个说法正确的是()
A.假如,那么 B.假如,那么
C.对随意正实数和,有,当且仅当时等号成立 D.对随意正实数和,有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】
【分析】视察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可
【详解】通过视察,可以发觉这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消逝,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题
7.政治书上讲,“有运用价值的东西不愿定有价值,有价值的东西确定有运用价值”,假如把有运用价值的东西看作集合,把有价值的东西看作集合,那么它们的关系是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据集合的包含关系及集合的交集、并集运算推断即可得出选项.
【详解】依据题意,推不出,能推出,
所以,故.
故选:A
8.现设计一个两邻边长度分别为的矩形广告牌,其面积为,且,则当该广告牌的周长最小时,()
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】
【分析】依据题意求得,得到矩形的周长为,结合基本不等式,即可求解.
【详解】由题意知,且,所以,
则该矩形的周长为
,当且仅当,即时,取得等号,
此时.
故选:A.
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列命题为真命题的是()
A若,且,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项,作差法得到,结合,得到结论;B选项,可举出反例;CD选项,作差法比较大小.
【详解】对于A,,又,故,A正确;
对于B,不妨设,则,故B错误.
对于C,,
∵,∴,,,
∴,
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