专题01 平面向量的概念与运算【考点串讲】(原卷).docxVIP

高中数学精编资源

PAGEPage1/NUMPAGESPages2

专题01平面向量的概念与运算

知识点1向量的有关概念

1、向量的模:向量的大小叫向量的模

模的特点:(1)向量的模;(2)向量不能比较大小,但是实数,可以比较大小.

2、零向量:长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的.

3、单位向量:长度等于1个单位的向量.

将一个向量除以它的模,得到的向量就是一个单位向量,并且它的方向与该向量相同.

4、相等向量:长度相等且方向相同的向量.

5、向量的共线或平行:方向相同或相反的非零向量.规定:与任一向量共线.

【注意】1、零向量的方向是任意的,注意0与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;

共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.

知识点2向量的线性运算

1、向量的加法运算

(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

(2)三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB＝a,BC＝b,再作向量AC,

向量AC叫做a与b的和,记作a＋b,即a＋b＝AB＋BC＝AC

(3)平行四边形法则:已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O,

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作?OACB,对角线OC就是a与b的和

【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).

【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和;=2\*GB3②平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量.

(4)向量加法的运算律

结合律:a＋b＝b＋a交换律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

2、向量的减法运算

(1)相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作－a.

=1\*GB3①规定:零向量的相反向量仍是仍是零向量;

=2\*GB3②(－a)＝a;

=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0;

=4\*GB3④若a与b互为相反向量,则a＝－b,b＝－a,a＋b＝0.

【注意】相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面定义,相反向量必为平行向量.

(2)向量的减法

=1\*GB3①定义:a－b＝a＋(－b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

=2\*GB3②几何意义:以O为起点,作向量eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a,eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b,则eq\o(BA,\s\up7(―→))＝a－b,

如图所示,即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

【注意】在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.

3、向量的数乘运算

(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,

它的长度与方向规定如下:①|λa|＝|λ||a|;②当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;

当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反.

(2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有:

①λ(μa)＝(λμ)a;②(λ＋μ)a＝λa＋μa;③λ(a＋b)＝λa＋λb;

特别地,有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa);λ(a－b)＝λa－λb.

(3)线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

知识点3向量共线

1、向量共线的条件

(1)当向量时,与任一向量共线.

(2)当向量时,对于向量.如果有一个实数,使,那么由实数与向量的积的定义知与共线.

反之,已知向量与()共线且向量的长度是向量的长度的倍,即,那么当与同向时,;当与反向时,.

2、向量共线的判定定理:是一个非零向量,若存在一个实数,使,则向量与非零向量共线.

3、向量共线的性质定理:若向量与非零向量共线,则存在一个实数,使.

【注意】

(1)两个向量定理中向量均为非零向量,即两定理均不包括与共线的情况;

(2)是必要条件,否则,时,虽然与共线但不存在