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随机过程第三版课后答案

【篇一：随机过程习题答案】

们的均值分别为mx和my，它们的自

相关数分别为rx(?)和ry(?)。（1）求z(t)=x(t)y(t)的自相关数；（2）求

z(t)=x(t)+y(t)的自相关数。答案：

（1）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?

利用x(t)和y(t)独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)?

rx(?)ry(?)

（2）

rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)???e?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t?

?)y(t)?

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)

2、一个rc通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关数和功率谱密度数；（2）求输出信号的一维

概率密度数。

电流：i(t)

电：y(t)

答案：

（1）该系统的系统数为h(s)?

y(s)1

x(s)1?rcs

则频率响应为h(j?)?

1

1?jrc?

n0

2

而输入信号x(t)的功率谱密度数为px(j?)?

该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?

2

n0/2

1?rc?2

对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关数：

1

ry(?)?

2?

py(j?)e

j??

1

d??

2?

n0/2j??

1?rc?2ed?

（2）线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输

出的一维概率密度数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。均值：已知输入均值

mx=0，则输出均值my=mxh(0)=0

2

方差：ry(0)?var(y)?my

因为均值为0，所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf：略

1

2?

n0/2

1?rc2?2d?

3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b，其在通带的频率增益为1。假定输入是

均

值为0、双边功率谱密度数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关数和功

率谱密度数；（2）求输出信号的平均功率；（3）求输出信号的一维概率密度数。答案：类

似上一题，仅需注意的是：

(a)此处滤波器的频率响应为h(j?)??

1,?0

2?(fc?b/2)???2?(fc?b/2)

otherwise

(b)平均功率等于功率谱密度数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在??0处

的值，即ry(0)

4、设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个lti系统所得的

输出

为y1(t)，x2(t)通过同一个lti系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。答案：

就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。

由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。所以，我们仅需要证

明y1(t)与y2(t)的互相关为0。

设lti系统的单位冲激响应为h(t)，则：y1(t)?

x1(t??)h(?)d?

y2(t)??x2(t??)h(?)d?

所以有：

e?y1(t)y2(t)??e?x1(t??)h(?)d??x2(t?v)h(v)dv?????????

e?

?

x1(t??)x2(t?v)h(?)h(v)d?dv?

?

1

2

?

e?x(t??)x(t?v)?h(?)h(v)d?dv

??

再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有