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高中数学精编资源
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格致中学2022学年第二学期高二年级数学期末
2023.6
一、填空题:(本题共有12个小题,每小题3分,满分36分)
1.已知直线l的一个法向量是,则此直线的倾斜角的大小为__.
2.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为______.
3.已知随机变量X服从二项分布,且,则______.
4.已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则_______.
5.已知是抛物线上一点,F为该抛物线的焦点,,则______.
6.设E是正方体的棱的中点,在棱上任取一点P,在线段上任取一点Q,则异面直线PQ与BD所成角的大小为______.
7.三颗骰子各掷一次,观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个2点”,则______.
8.如图,在平行六面体中,,,,则的长为______.
9.设,若关于x的方程有3个不同的实根,则的取值范围是______.
10.设椭圆的右焦点为,点在椭圆外,、在椭圆上,且是线段的中点.若直线、的斜率之积为,则椭圆的离心率为______.
11.已知对于任意,不等式都成立(是自然对数的底数),则的最小值是______.
12.数学中有许多寓意美好的曲线,曲线被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).
给出下列三个结论:
①曲线关于直线对称;
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;
③存在一个以原点为中心、边长为正方形,使得曲线在此正方形区域内(含边界).
其中,正确结论的序号是________.
二、选择题:(本题共有4个小题,每小题4分,满分16分)
13.已知事件A、B是相互独立事件,、分别是A、B的对立事件,那么下列等式中不一定成立的是()
A.
B.
C.
D.
14.已知函数,其导函数记为,有以下四个命题:
①若为偶函数,则为奇函数;
②若为偶函数,则为奇函数;
③若为周期函数,则也为周期函数;
④若为周期函数,则也为周期函数.
其中真命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
15.已知与是直线(k为常数)上两个不同点,则关于x和y的方程组的解的情况是()
A.无论k、、如何,总是无解
B.无论k、、如何,总有唯一解;
C.存在k、、,使之恰有两解
D.存在k、、,使之有无穷多解
16.如图,把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面,再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面,则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是()
A. B. C. D.
三、解答题:(本题共有4大题,满分48分.解题时要有必要的解题步骤)
17.如图,在三棱锥中,平面,,,,为垂足.
(1)求证:平面;
(2)若为的中点,求四面体的体积.
18.某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计,制作成如下两个统计图,图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图,图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图.
若将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类,将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”,15次及以下的会员称为“健身爱好者”,且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)根据上图的数据,补全下方列联表,并依据显著性水平的独立性检验,分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联?
年轻人
非年轻人
总计
健身达人
健身爱好者
总计
100
附:,,,与k的若干对应数值见下表:
0.25
0.05
0.005
1323
3.841
7.879
(2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数,求X的分布及其期望.
19.已知椭圆的离心率为,、为椭圆的左、右焦点,,P为椭圆上的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)当取最大值时,求的面积;
(3)已知r为正常数,过动点P作圆的切线PQ、PR,记直线PQ、PR的斜率分别为、,是否存在r,使得为定值?若存在,求出r及的值;若不存在,请说明理由.
20.已知定义域为的函数,其导函数为,满足对任意的都有.
(1)若,求实数a的取值范围;
(2)若存在,对任意,成立,试判断函数的零点个数,并说明理由;
(3)若存在a、,使得,证明:对任意的实数、,都有.
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