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一、填空题(每小题4分,共24分)
1.设四阶方阵A?(?,r
,r,r
), B?(?,r
,r,r
),其中?,?,r
,r,r
均为四维列向量,且|A|?4, |B|??1,
2 3 4
则|A?2B|? 54
2 3 4
2 3 4
1
2.n阶方阵A满足A2?3A?3E?0,则(A?4E)?1?
(7E?A)
31
向量组
? ?(1,3,5,?1)T,? ?(2,?1,?3,4)T,? ?(5,1,?1,7)T和? ?(7,7,9,1)T的一个极大无关组
1 2 3 4
是 。
已知四元线性方程组Ax?b的三个解为?,?,?
1 2 3
,且?
1
?(1,2,3,4)T,? ??
2 3
?(3,5,7,9)T,R(A)?3,则
方程组的通解是 。
?x? ?z?
?? ? ? ?
?
设A?y? ?x?,则A= 。
z y? ? ?
z y
? ? ? ?
设二次型f?x2?2xy?2yz?z2,则其对应的矩阵A的正特征值有 个。
二、单项选择题(每小题4分,共24分)
若行列式
?2,则x=( )。
x11x0x0xx0
x
1
1
x
0
x
0
x
x
0
1
0
x
0
0
1
C.?1; D.?2
?ab ab ? ab?
?? 11 12 1n?
?
设矩阵
A??a2b
a2b ? a2b
,其中a
?0,b
?0,i,j?1,2,?,n,则
R(A)
为( )
??12n?? ? i j
?
?
1
2
n
?
? ?
???ab ab ab
?
?
?
n1 n2 nn
1;
2;
n; D.无法确定。
向量组?,?
1 2
,?,?
3 4
线性无关,则线性无关的是( )。
?
1
?
??, ?
2 2
??, ?
??, ?
3 3
??, ?
??, ?
4 4
??, ?
??;
1
??;
1
?
1
2 2
??, ?
2 2
3 3
??, ?
3 3
4 4
??, ?
4 4
1
??;
1
?
1
??, ?
2 2
??, ?
3 3
??, ?
4 4
??。
1
设A是n阶方阵,且方程组Ax
有无穷多组解;C.有有限组解;
?0有无穷多组解,则方程组AATx?0( )。
仅有零解;D.无解。
设A是n阶方阵,B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵,则有( )。
A.|A|?|B|; B.|A|?|B|;
C.若|A|?0,则一定有|B|?0; D.若|A|?0,则一定有|B|?0。
?1 1
?1 1
设A??
1 1? ?4 0
1 1? ?0 0
?, B??
0 0?
0 0?
?,则A与B( )
?1 1
1 1?
?0 0
0 0?
11 011? ?
1
1 0
1
1
? ? ?
合同且相似;C.不合同但相似;
?
00 0 ?
0
合同但不相似;D.不合同且不相似。
三、计算题(每小题10分,共40分)
1.已知矩阵A?PQ,其中P??1 2 1?T,Q?(2,?1,2),求矩阵A,A2,A100。
?x?x ?0
设四元线性方程组(I):?1 2
,又已知齐次方程组(II)的通解为k
(0,1,1,0)T?k
(?1,2,2,1)T,
?x?x ?0 1 2
?
2 4
求方程组(I)的基础解系;
问(I)与(II)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解。若没有,则说明理由。
?1 1 0?
? ?
设矩阵A??0 1 0?,矩阵B满足A*BA?2BA?9E,求矩阵B。
? ??0 0 ?
? ?
设二次型
f(x,x,x)?XTAX?ax2?2x2?2x2?2bxx
(b?0),其中二次型矩阵A的特征值之和
1 2 3 1 2 3 1 3
为1,特征值之积为?12。
求a,b的值;
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交
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