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专题9.7正方形的性质与判定(知识解读)
【学习目标】
1.理解正方形的概念;
2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算;
3.通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力;
4.通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力.
【知识点梳理】
知识点1:正方形的概念与性质
1.概念:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质:
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2:正方形的判定
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)对角线相等的菱形是正方形;
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意:判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:先证明它是平行四边形,再证明它是菱形(或矩形),最后证明它是矩形(或菱形)。
【典例分析】
【考点1:正方形的概念和性质】
【典例1】(2021秋?萧县期末)矩形,菱形,正方形不同时具有的性质是()
A.对边平行且相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.每条对角线平分一组对角
【变式1-1】(2022春?双台子区期末)矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分且相等
【变式1-2】(2020秋?罗湖区校级期末)下列说法正确的是()
A.矩形的对角线相等垂直 B.菱形的对角线相等
C.正方形的对角线相等 D.菱形的四个角都是直角
【典例2】(2022秋?铁西区期中)如图,已知正方形ABCD的面积为64平方厘米,DE=10厘米,则CE的长为()
A.6 B.12 C.2 D.2
【变式2-1】(2021秋?仁寿县校级期末)如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF.若DF=3,则BE的长为()
A.2 B.3 C.4 D.5
【变式2-2】(2022秋?朝阳区校级期末)如图,直线l过正方形ABCD的顶点A,BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.若BE=2,DF=4,则的EF长为.
【变式2-3】(2022秋?龙岗区校级期末)已知正方形ABCD的对角线长为6cm,则正方形ABCD的面积为cm2.
【考点2:正方形的判定】
【典例3】(2022秋?莱西市期末)下列说法错误的是()
A.对角线相等的菱形是正方形
B.对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线垂直且相等的四边形是正方形
【变式3-1】(2022春?张家川县期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是()
A.BD=AB B.DC=AD C.∠AOB=60° D.OD=CD
【变式3-2】(2022春?平南县期末)下列说法中正确的是()
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
【变式3-3】(2020春?久治县期末)对角线互相垂直且相等的平行四边形是.
【典例4】(2021秋?平远县期末)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(2)当AD,AB满足什么条件时,四边形MENF是正方形.
【变式4-1】(2022秋?茂南区期末)如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE、DF.求证:CE=DF.
【变式4-2】(2022春?寻乌县期末)如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.
(1)求证:四边形AEDF是菱形;
(2)当△ABC满足条件时,四边形AEDF是正方形.
【变式4-3】(2022春?江宁区期末)如图,△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O.
(1)求证:AF与DE互相平分;
(2)当△ABC满足时,四边形ADFE是正方形.
【考点2:正方形的性质与判定综合】
【典例5】(20
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