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一、
设f(x)是区间I上的函数
定义2.1n
f(x)收敛,则称f(x)在
n0
一个问题设fn(x)在[a,b]逐点收敛于f(x),
即limf(x)f(x),xI.
n000
n
0,N(x,)0,当nN(x,)时,|f(x)−f(x)|
00n00
是否有公共的N,当nN时对一切x0I,
都有|f(x)−f(x)|?
n00
例1.研究下列函数序列的收敛性.
fn(x)xn,x(0,1).
解:易见limfn(x)0,x(0,1).
n
0,为使fn(x)−0xx,(1).
nn
只要取nlnxln,nln,(lnx0).
lnx
ln
取N(,x)lnx即可。
N(,x)与x有关,找不到公共N.
例2.研究下列序列的收敛性.
1
fn(x),x(0,1).
n+x
解:易见limfn(x)lim10,x(0,1)
nnn+x
11
0(1),fn(x)−0,
n+xn
1
只要N,当nN时,fn(x)−0.
有公共的N(),与x无关.
定义2.2设f(x)在点集I上逐点
n
任意0,存在与x无使得当n
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