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初一数学竞赛讲座
第10讲计数措施与原理
计数措施与原理是组合数学重要课题之一,本讲简介某些计数基本措施及计数基本原理。
一、枚举法
一位旅客要从武汉乘火车去北京,她要理解所有可供乘坐车次共有多少,一种最易行措施是找一张列车运行时刻表,将所有从武汉到北京车次逐一挑出来,共有多少次车也就数出来了,这种计数措施就是枚举法。所谓枚举法,就是把所规定计数所有对象一一列举出来,最终计算总数措施。运用枚举法进行列举时,必要注意无一反复,也无一遗漏。
例1四个学生每人做了一张贺年片,放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能拿自己做一张。问:一共有多少种不一样措施?
解:设四个学生分别是A,B,C,D,她们做贺年片分别是a,b,c,d。
先考虑A拿B做贺年片b状况(如下表),一共有3种措施。
同样,A拿C或D做贺年片也有3种措施。
一共有3+3+3=9(种)不一样措施。
例2甲、乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止。问:一共有多少种也许状况?
解:如下图,咱们先考虑甲胜第一局状况:
图中打√为胜者,一共有7种也许状况。同理,乙胜第一局也有7种也许状况。一共有7+7=14(种)也许状况。
二、加法原理
假如完毕一件事情有n类措施,而每一类措施中分别有m1,m2,…,mn种措施,而无论采用这些措施中任何一种,都能单独地完毕这件事情,那么要完毕这件事情共有:N=m1+m2+…mn种措施。
这是咱们所熟知加法原理,也是运用分类法计数根据。
例3一种自然数,假如它顺着数和倒着数都是同样,则称这个数为“回文数”。例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数。问:1到6位回文数一共有多少个?按从小到大排,第个回文数是多少?
解:一位回文数有:1,2,…,9,共9个;
二位回文数有:11,22,…,99,共9个;
三位回文数有:101,111,…,999,共90个;
四位回文数有:1001,1111,…,9999,共90个;
五位回文数有:10001,10101,…,99999,共900个;
六位回文数有:100001,101101,…,999999,共900个。
到六位数为止,回文数共有
9+9+90+90+900+900=1998(个)。
第1999个回文数是1000001,第个回文数是1001001。
例4设有长度为1,2,…,9线段各一条,目前要从这9条线段中选用若干条构成一种正方形,共有多少种不一样取法?这里规定当用2条或多条线段接成一条边时,除端点外,不许重叠。
解法1:由于
因此正方形边长不不不不小于11。
下面按正方形边长分类枚举:
(1)边长为11:9+2=8+3=7+4=6+5,可得1种选法;
(2)边长为10:9+1=8+2=7+3=6+4,可得1种选法;
(3)边长为9:9=8+1=7+2=6+3=5+4,可得5种选法;
(4)边长为8:8=7+1=6+2=5+3,可得1种选法;
(5)边长为7:7=6+1=5+2=4+3,可得1种选法;
(6)边长≤6时,无法选用。
综上计算,不一样取法共有
1+1+5+1+1=9(种)。
解法2:由于这些线段互不等长,故至少要用7条线段才能构成一种正方形。当恰取7条线段构成正方形时,正方形3条边各用2条线相接,另一条边只用一条线段;当恰用8条线段时,只能每边各用2条线段相接(轻易看出,其她状况不也许发生)。由于1+2+…+9=45,45不能被4整除,因此用9条线段,不也许构成正方形。由解法一知,拼出正方形边长至多为11,又易知正方形边长不也许为1,2,3,4,5,6。有了以上分析就轻易计数了。
(1)取出7条线段,有如下7种:
7=1+6=2+5=3+4;
8=1+7=2+6=3+5;
9=1+8=2+7=3+6=4+5
(这个式子有5种);
(2)取出8条线段,有如下2种:
1+9=2+8=3+7=4+6;
2+9=3+8=4+7=5+6。
综上所述,不一样取法共有7+2=9(种)。
三、乘法原理
假如完毕一件事必要分n个环节,而每一种环节分别有m1,m2,…,mn种措施,那么完毕这件事共有:N=m1×m2×…×mn种措施。
这就是乘法原理,它是分步法根据。乘法原理和加法原理被称为是计数基本原理。咱们应注意它们区别,也要注意两者联合使用。
例5一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。求:
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不一样安排节目次序?
(2)当规定每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不一样安排节目次序
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