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例题精讲
例题精讲
【例1】.如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点D为y轴上一点,如果直线BD与直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;
(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.
解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3),
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3;
(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,
∴点B(﹣3,0),
∵点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),
∴OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
如图1,当点D在点C上方时,
∵∠DBC=15°,
∴∠OBD=30°,
∴tan∠DBO==,
∴OD=×3=,
∴CD=3﹣;
若点D在点C下方时,
∵∠DBC=15°,
∴∠OBD=60°,
∴tan∠DBO==,
∴OD=3,
∴DC=3﹣3,
综上所述:线段CD的长度为3﹣或3﹣3;
(3)如图2,在BO上截取OE=OA,连接CE,过点E作EF⊥AC,
∵点A(1,0),点C(0,﹣3),
∴OA=1,OC=3,
∴AC===,
∵OE=OA,∠COE=∠COA=90°,OC=OC,
∴△OCE≌△OCA(SAS),
∴∠ACO=∠ECO,CE=AC=,
∴∠ECA=2∠ACO,
∵∠PAB=2∠ACO,
∴∠PAB=∠ECA,
∵S△AEC=AE×OC=AC×EF,
∴EF==,
∴CF===,
∴tan∠ECA==,
如图2,当点P在AB的下方时,设AP与y轴交于点N,
∵∠PAB=∠ECA,
∴tan∠ECA=tan∠PAB==,
∴ON=,
∴点N(0,﹣),
又∵点A(1,0),
∴直线AP解析式为:y=x﹣,
联立方程组得:,
解得:或,
∴点P坐标为:(﹣,﹣),
当点P在AB的上方时,同理可求直线AP解析式为:y=﹣x+,
联立方程组得:,
解得:或,
∴点P坐标为:(﹣,),
综上所述:点P的坐标为(﹣,)或(﹣,﹣).
?变式训练
【变1-1】.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C.直线y=﹣x+2经过于点C、点B,
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为第一象限抛物线上一动点,过点D作y轴的平行线交线段BC于点E,交x轴于点Q,当DE=5EQ时,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M为第二象限抛物线上一动点,连接DM,DM交线段OC于点H,点F在线段OB上,连接HF、DF、DC、DB,当HF=,∠CDB=2∠MDF时,求点M的坐标.
解:(1)针对于直线y=﹣x+2,令x=0,则y=2,
∴C(0,2),
令y=0,则0=﹣x+2,
∴x=4,
∴B(4,0),
将点B,C坐标代入抛物线y=ax2+x+c中,得
∴,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)如图1,由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,
设点D坐标为(m,﹣m2+m+2),
∵DE⊥x轴交BC于E,直线BC的解析式为y=﹣x+2,
∴D(m,﹣m+2),
∴DE=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+m,DQ=﹣m+2,
∵DE=5EQ,
∴﹣m2+m=5(﹣m+2),
∴m=3或m=4(点B的横坐标,舍去),
∴D(3,3);
(3)如图2,
由(2)知,D(3,3),
由(1)知,B(4,0),C(0,2),
∴DB=,DC=,BC=2,
∴DC=DB,DB2+DC2=BC2,
∴△BDC是等腰直角三角形,
∴∠BDC=90°,
∵BDC=2∠FDM=90°,
∴∠FDM=45°,
过点D作DP⊥y轴于P,则DQ=DP,OP=3,
∴CP=1=BQ,
∴△DPC≌△DQB(SAS),
在CP的延长线取一点G,使PG=QF=n,
∴OF=3﹣n,OG=3+n,
∴△DPG≌△DQF(SAS),
∴DG=DF,∠PDG=∠QDF,
∴∠FDG=∠PDG+∠PDF=∠QDF+∠PDG=∠PDQ=90°
∴∠GDM=90°﹣∠FDM=45°=∠GDM,
∵DH=DH,
∴△GDH≌△FDH(SAS),
∴GH=FH=,
∴OH=OG﹣GH=3+n﹣=n+,
在Rt△HOF中,根据勾股定理得,(n+)2+(3﹣n)2=,
∴n=1或n=(此时,OH=n+=2,所以点H与点C重合,舍去),
∴H(0,),
∵C(3,3),
∴直线CH的解析式为y=x+①,
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2②,
联立①②解得,或(由于点M在第二象限,所以舍去),
∴M(﹣,).
【例2】.如图,直线y=x+c与x轴交于点B
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