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３－１矩阵的秩习题评讲
２、设秩（Ａ）＝ｒ，问Ａ中有没有等于零的ｒ－１阶子式？有没有等于零的ｒ阶子式？
有没有不等于零的ｒ＋１阶子式？
解：秩（Ａ）＝ｒ时，Ａ中可能有等于零的ｒ－１阶子式；也可能有等于零的ｒ阶子
式；没有不等于零的ｒ＋１阶子式。例如：
1234
124
Ａ＝0234，Ａ中存在一个３阶子式＝８０，所有４阶子式有一
024
0004
004
0000
34
行全为零，值为零，所以秩（Ａ）＝３。Ａ中存在等于零的２阶子式，如；还存
34
023
在等于零的３阶子式，如000。
000
３、如果从矩阵Ａ中划去一行（或一列）得到矩阵Ｂ，问Ａ的秩与Ｂ的秩有什么关系？
解：设ｍｎ矩阵Ａ的行向量为：，，……，，。从矩阵Ａ中划去一
１２ｍ－１ｍ
行，不妨设划去第ｍ行，得矩阵Ｂ，则Ｂ的行向量为：，，……，。分
１２ｍ－１
两种情况讨论。
（１）如果可由，，……，线性表出，则Ａ的行向量组与Ｂ的行向量
ｍ１２ｍ－１
组等价，故Ａ的行秩＝Ｂ的行秩，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
（２）如果不能由，，……，线性表出，取Ｂ的行向量组的一个最大
ｍ１２ｍ－１
无关组，不妨设为：，，……，，则不能由，，……，线性
１２ｒｍ１２ｒ
表出。据Ｐ１１１１１题，，，……，，线性无关，显然作成Ａ的行
１２ｒｍ
向量组，，……，，的一个最大无关组，于是Ａ的行秩＝Ｂ的行秩＋
１２ｍ－１ｍ
１，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）＋１。
综上所述，：
RA当删去的行（列）可由其它行（列）线性表出时
()
ＲＢ＝。
()
RA当删去的行（
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