混合策略纳什均衡.pptVIP

第三讲混合策略纳什均衡主讲人：李美娟

引言◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡的博弈作一些讨论。

混合策略的引进乙一、扑克牌对色游戏红黑-1，11，-11，-1-1，1红黑不存在前面定义的纳什均衡策略组合。这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念。

混合策略的相关概念◆混合策略是一种按照什么概率选择这个纯策略、按照什么概率选择那种纯策略的策略选择指示。◆混合策略表明：参与人可以按照一定的概率，随机地从纯策略集合中选择一种纯策略的实际行动。◆期望值：假定存在个可能的取值，并且这些取值发生的概率分别为：望值为：，则期

混合策略博弈小孩玩的游戏“石头，剪子，布”，也是一种博弈。但是，这个博弈有一种有趣的特征，即给定一方的任何选择，另一方都有制胜对方的战略，因而这个战略不是最优的。任何“纯战略”都不是最优的，纯战略是“石头，剪子，布”中的任何一个。

石头、剪刀、布博弈方2石头剪子布0，01，-1-1，1-1，10，01，-11，-1-1，10，0石头剪子布1

但是，我们知道，玩这个游戏总是以对方不易猜出的随机方式出招。事实上，可以通过数学证明，当双方都以每个战略按1/3的概率出招时，达成一种双方都不愿改变这种概率分布的局面。这被称为“混合战略纳什均衡”，而这种以随机方式选择纯战略的博弈被称为“混合战略博弈”。以混合战略博弈我们来看下面几个例子。

例子1为什么一般人总是小错不断，大错不犯；偷税漏税的一般是中小企业，大企业会老老实实地交税？税务部门不会对所有企业的交税情况每一次都去检查，因为这样做的成本太高，得不偿失。所以，税务部门总是随机地对企业的交税情况进行检查。

企业也是随机地在交税与偷漏税之间进行选择。税收部门与企业间进行的是混合战略博弈。因为如果企业总是交税，税务部门就最好不检查；但给定不检查，企业就会偷漏税。所以，两者只有在随机地检查与不检查，企业随机地在偷漏税与交税之间选择，才会达成均衡。

对于大企业，因一旦偷税数额就巨大，所以，税务部门在随机检查时放在大企业上的可能性就大一些；而给定税务部门检查大企业的可能性较大，大企业偷漏税的行为就较少，否则就容易被逮个正着。所以，偷漏税较多的就是一些中小企业，大企业纳税的积极性较高。同样的道理，在犯罪或对错误的监督惩罚博弈中，也是混合博弈，人们可能总是大错不犯小错不断。

例子2田忌赛马新编春秋战国时期，齐威王常与旗下大将田忌赛马。规则是：每次赛三局，每一局齐威王与田忌各出一匹马比赛奔跑速度。每一局中的胜者赢败方一千斤铜。田忌有上、中、下三匹马，而齐威王也有上、中、下三匹马。每次比赛，第一局田忌出上马，齐威王也出上马；第二局田忌出中马，齐威王也出中马；第三局，田忌出下马，齐威王也出下马。齐威王的上马比田忌的上马好，齐威王的中马也比田忌的中马好，齐威王的下马还是比田忌的下马好。于是，每次比赛的结果都是田忌连输三局。

田忌的谋士孙膑了解了田忌的困境后，就打听到这样一个消息：尽管齐威王的上、中、下三匹马都要比田忌的对应上、中、下三匹马好，但碰巧的是田忌的上马可胜齐威王的中马，田忌的中马可胜齐威王的下马。于是，孙膑为田忌献计：下一次比赛中第一局时田忌出下马对齐威王的上马输一局，第二局田忌出上马对齐威王的中马，第三局田忌出中马对齐威王的下马，这样可连赢两局，最后净胜一千斤铜。田忌依计而行，果真赢回一千斤铜。

这个故事曾经被很多人当作博弈论的例子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。当田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子，当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中、下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下马时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时，田忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又应出中马而不是下马了，……。这样，博弈不会有纯战略的均衡。

两人只能玩混合战略博弈，齐威王分别以1/6随机的概率选择出上、中、下马的任一排列，田忌也如此。由于齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然会赢田忌一千斤铜。

混合策略均衡◆纯策略与纯策略纳什均衡纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——被选择的策略。n◆混合策略?混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的策略。?

混合策略◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述中，假定参与人有K个纯策略：，那么，概率分布称为的一个混合策略，这里是选择的概率，对于所有的。◆显然，纯策略可以理解为混合策略的特例，比如说，纯策略等价于混合策略，即选择纯策略的概率为1，选择任何其他