特级教师高考数学首轮复习第18讲-导数概念、几何意义与运算.docx

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一、重点表达

1.实际背景

①曲线的切线Ⅰ、观察思考:观察图形得出,相切可能不止一个交点,有惟一交点的也不一定是相切。所以对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义。Ⅱ、曲线的切线:一般地,函数的图象是曲线C,P(),Q()是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动。当点Q沿着曲线无限接近点P,即趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。此时,割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当趋向于0时,割线PQ的斜率的极限为k。②平均速度与瞬时速度Ⅰ、平均速度:如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,所以,虽然运发动在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运发动仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运发动的运动状态。Ⅱ、瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运发动的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运发动的瞬时速度呢?比方,时的瞬时速度是多少?考察附近的情况:显然,当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值。从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于时的瞬时速度,因此,运发动在时的瞬时速度是。从数学的角度看,可表示为。它说明“当,趋近于0时,平均速度趋近于定值”,这个定值就是某时刻的瞬时速度。Ⅲ、平均速度与瞬时速度关系:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。这就是函数在某点处导数产生的实际背景。

2.函数的导数

①导数概念Ⅰ、函数在某点处导数的定义:设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,那么函数相应地有增量,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限,即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即。Ⅱ、定义说明:

(1)函数应在点的附近有定义,否那么导数不存在。

(2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可能为0。

(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上点()及点)的割线斜率。

(4)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线上点()处的切线的斜率。

(5)导数是一个局部概念,它只与函数在及其附近的函数值有关,与无关。

(6)在定义式中,设,那么,当趋近于0时,趋近于,因此,导数的定义式可写成。(7)假设极限不存在,那么称函数在点处不可导。

(8)假设在可导,那么曲线在点()有切线存在。反之不然,假设曲线在点()有切线,函数在不一定可导,并且,假设函数在不可导,曲线在点()也可能有切线。Ⅲ、导函数:

(1)导函数定义:如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作,即==.

(2)导函数与函数在某点处导数的关系:函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值,即=。所以函数在处的导数也记作。

(3)定义说明:

1)如果函数在开区间内每一点都有导数,那么称函数在开区间内可导。

2)导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。

3)求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即=。Ⅳ、求函数的导数的步骤::

(1)求函数的改变量;(2)求平均变化率;

(3)取极限,得导数=。②几何意义:Ⅰ、曲线的切线:

(1)曲线切线的定义:如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT。我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线。

??(2)确定曲线c在点处的切线斜率的方法:设割线PQ的倾斜角为,切线PT的倾斜角为,既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线,所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

tan=。Ⅱ、导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,即。Ⅲ、求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:如果在点可导,那么求曲线在点处的切线方程的根本步骤为

(1)求出P点的坐标;

(2)求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率;(3)利用点斜式求切线方程,即。

3.导数的运算

①根本初等函数的导数公式:

函数

导数

②求导法那么:Ⅰ、四那么运算求导法那么:法那么1:两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(或)。法那么2:两个函数积